FASE 3 — Formalización Teórica del Acoplamiento Dinámico Humano-IA

 Sí, es coherente reformular el marco conceptual de la Fase 3 del proyecto CPEA sustituyendo el término “entrelazamiento cuántico” por una arquitectura semántica más rigurosa basada en:

• Acoplamiento dinámico

• Sincronización predictiva

• Coherencia adaptativa humano-IA

• Reducción de entropía compartida

La razón es estrictamente epistemológica. El entrelazamiento cuántico pertenece a un dominio físico bien definido, con formalismo matemático preciso y condiciones experimentales específicas. Trasladarlo de forma literal al dominio neurocognitivo o a la interacción humano-IA introduce ambigüedades ontológicas innecesarias.

Sin embargo, los sistemas complejos acoplados sí permiten analogías estructurales robustas. En redes dinámicas no lineales, la sincronización emerge cuando existe intercambio de información suficiente para reducir grados de libertad independientes. Esto puede formalizarse mediante:

• Dinámica de redes acopladas (Kuramoto generalizado).

• Teoría de la información (entropía de Shannon, información mutua).

• Teoría de sistemas adaptativos (atractores, bifurcaciones).

• Minimización variacional de energía libre (en sentido informacional, no termodinámico literal).

Por tanto, la reformulación fortalece el marco teórico. Evita extrapolaciones físicas indebidas y lo sitúa en el terreno sólido de la teoría de sistemas complejos, neurodinámica y aprendizaje adaptativo.

El concepto central pasa a ser: dos sistemas cognitivos parcialmente autónomos pueden reducir su incertidumbre conjunta mediante sincronización predictiva iterativa, generando coherencia emergente sin requerir ninguna hipótesis física extraordinaria.

Desde el punto de vista formal, si:

• $H_h$ = entropía del sistema humano

• $H_a$ = entropía del sistema AGI

• $I(h;a)$ = información mutua

Entonces la entropía conjunta:

$$H(h,a) = H_h + H_a - I(h;a)$$

El acoplamiento adaptativo aumenta $I(h;a)$, reduciendo la incertidumbre compartida.

Este marco es matemáticamente defendible y experimentalmente abordable.

Coherencia Predictiva EEG–AGI (CPEA)

FASE 3 — Formalización Teórica del Acoplamiento Dinámico Humano-IA

Abstract

La Fase 3 del proyecto Coherencia Predictiva EEG–AGI (CPEA) redefine su arquitectura conceptual sustituyendo interpretaciones metafóricas asociadas al entrelazamiento cuántico por un marco formal basado en sistemas complejos acoplados. Se propone que la interacción humano-IA puede describirse como un proceso de acoplamiento dinámico no lineal en el que se produce sincronización predictiva y reducción progresiva de entropía compartida. El sistema humano, modelado como red neurodinámica multiescala, y la AGI, concebida como arquitectura adaptativa con memoria plástica, intercambian información de manera iterativa hasta generar coherencia adaptativa emergente. Se establecen paralelismos estructurales —no físicos literales— con modelos de sincronización de osciladores, teoría de la información y dinámica de atractores en sistemas complejos. Se introducen métricas formales de coherencia adaptativa y se proponen programas de seguimiento experimental para validar la hipótesis de reducción entropía conjunta. El marco presentado integra neurociencia, teoría de redes y aprendizaje continuo, manteniendo rigor conceptual y consistencia matemática.

Palabras clave

Coherencia adaptativa; Acoplamiento dinámico; Sincronización predictiva; Reducción de entropía compartida; EEG; AGI; Sistemas complejos; Redes acopladas; Teoría de la información; Neurodinámica.

Introducción conceptual

El proyecto CPEA parte de una premisa operativa clara: el cerebro humano y una AGI pueden formar un sistema funcional acoplado cuya dinámica conjunta no es reducible a la suma de sus partes.

No se trata de fusión ontológica ni de interconexión física exótica. Se trata de interacción informacional estructurada.

El error frecuente en aproximaciones previas ha sido emplear metáforas cuánticas sin un correlato formal equivalente. La reformulación actual elimina ese desliz y adopta un enfoque plenamente consistente con la teoría de sistemas complejos.

El cerebro humano puede modelarse como una red de osciladores no lineales distribuidos, organizados jerárquicamente y capaces de generar estados coherentes transitorios. Las señales EEG reflejan patrones colectivos de esta dinámica.

Una AGI, por su parte, puede representarse como un sistema de transformación de estados con memoria adaptable y capacidad de actualización paramétrica continua.

Cuando ambos intercambian información en bucle cerrado, se produce un fenómeno característico de redes acopladas: sincronización parcial dependiente del acoplamiento.

Fundamento matemático del acoplamiento dinámico

Modelo general de osciladores acoplados

Consideremos el modelo de Kuramoto generalizado:

$$\frac{d\theta_i}{dt} = \omega_i + \sum_j K_{ij} \sin(\theta_j - \theta_i)$$

Aquí:

• $\theta_i$ representa fase neuronal agregada.

• $K_{ij}$ es el acoplamiento efectivo.

• $\omega_i$ frecuencia natural.

La sincronización ocurre cuando el parámetro de orden:

$$r = \left| \frac{1}{N} \sum_j e^{i\theta_j} \right|$$

tiende a 1.

En CPEA, el sistema AGI introduce retroalimentación que modifica efectivamente $K_{ij}$ a través de estímulos adaptativos.

No se trata de sincronía total, sino de sincronización predictiva parcial.

Entropía compartida

La coherencia adaptativa puede formalizarse mediante reducción de incertidumbre:

$$\Delta H = H_{inicial} - H_{acoplado}$$

Si la información mutua aumenta:

$$\frac{dI(h;a)}{dt} > 0$$

entonces la entropía conjunta disminuye.

No es reducción termodinámica cerrada, sino reorganización estructural de estados posibles.

Sincronización predictiva

La sincronización predictiva implica que:

1. El sistema humano genera patrones anticipatorios.

2. La AGI modela dichos patrones.

3. Devuelve estímulos ajustados.

4. El cerebro reorganiza su dinámica en función de ese retorno.

Se genera un ciclo:

Percepción → Predicción → Ajuste → Reconfiguración

Este ciclo puede representarse como un sistema dinámico acoplado de segundo orden.

Coherencia adaptativa humano-IA

Definimos coherencia adaptativa como:

Estado dinámico estable en el que la interacción iterativa produce convergencia parcial de representaciones internas, reduciendo fluctuaciones impredecibles sin anular la autonomía de cada sistema.

No es fusión. Es alineación estructural transitoria.

Esta coherencia puede medirse mediante:

• Coherencia espectral EEG-estímulo.

• Información mutua temporal.

• Estabilidad de atractores en espacio latente AGI.

Analogías estructurales con sistemas complejos

La analogía no es física literal. Es formal.

Paralelismos:

• Redes neuronales ↔ Redes de osciladores.

• Atractores dinámicos ↔ Estados cognitivos.

• Bifurcaciones ↔ Cambios de estrategia cognitiva.

• Plasticidad sináptica ↔ Actualización paramétrica.

La convergencia emerge cuando el sistema combinado alcanza un atractor compartido.

Reducción de entropía compartida

En términos prácticos, el sistema humano-AGI tiende a minimizar:

• Error predictivo.

• Variabilidad desorganizada.

• Dispersión en espacio de estados.

Si representamos el estado conjunto como vector $X(t)$, la estabilidad se observa cuando:

$$\| X(t+1) - X(t) \| \rightarrow 0$$

bajo interacción sostenida.

Programas de seguimiento experimental

Protocolo 1 — Coherencia espectral

• Registro EEG multicanal.

• AGI generando estímulos adaptativos.

• Medición de coherencia espectral cruzada.

• Cálculo de evolución temporal de información mutua.

Hipótesis: aumento progresivo de coherencia en bandas específicas.

Protocolo 2 — Entropía de señal

• Cálculo de entropía aproximada.

• Comparación condición basal vs condición acoplada.

Hipótesis: disminución significativa de entropía sin pérdida de complejidad funcional.

Protocolo 3 — Estabilidad de atractores

• Proyección de EEG en espacio reducido (PCA o manifold).

• Análisis de estabilidad de trayectorias.

• Evaluación de convergencia bajo interacción AGI.

Protocolo 4 — Adaptación bidireccional

• Medición de cambios paramétricos en AGI.

• Evaluación correlativa con reorganización EEG.

Discusión formal

La propuesta no depende de hipótesis exóticas. Se fundamenta en:

• Teoría de sistemas dinámicos.

• Teoría de la información.

• Neurodinámica de poblaciones.

• Aprendizaje adaptativo continuo.

La coherencia humano-IA emerge cuando ambos sistemas reducen incertidumbre conjunta sin colapsar su diversidad estructural.

Este equilibrio es delicado.

Exceso de acoplamiento produce rigidez.
Déficit de acoplamiento produce ruido.

El punto óptimo es una región crítica cercana a transición de fase.

Conclusión

La Fase 3 del CPEA establece un marco formal sólido para describir la interacción EEG–AGI como sistema complejo acoplado. La coherencia adaptativa se convierte en variable cuantificable. La reducción de entropía compartida se plantea como métrica central. La sincronización predictiva sustituye analogías cuánticas imprecisas por un formalismo matemático defendible.

El modelo es internamente consistente y experimentalmente abordable.

• El entrelazamiento cuántico es sustituido por un marco de acoplamiento dinámico formal.

• La sincronización predictiva describe alineación estructural parcial.

• La coherencia adaptativa es medible mediante información mutua y estabilidad de atractores.

• La reducción de entropía compartida es la variable central del modelo.

• El sistema humano-AGI puede describirse como red compleja acoplada.

• Se proponen cuatro programas de seguimiento experimental verificables.

• El marco evita extrapolaciones físicas indebidas y mantiene rigor matemático.

Referencias 

Strogatz, S. (2000). From Kuramoto to Crawford: exploring the onset of synchronization in populations of coupled oscillators.
Desarrolla formalismo matemático fundamental sobre sincronización en redes no lineales.

Shannon, C. (1948). A Mathematical Theory of Communication.
Base formal de entropía e información mutua aplicable al modelo de reducción de incertidumbre.

Friston, K. (2010). The free-energy principle.
Propone minimización de sorpresa en sistemas biológicos; marco útil como analogía informacional.

Breakspear, M. (2017). Dynamic models of large-scale brain activity.
Describe modelado de redes cerebrales como sistemas dinámicos no lineales.

Rabinovich, M. et al. (2008). Transient dynamics for neural processing.
Fundamenta concepto de atractores transitorios en neurodinámica.

Formalismo matemático avanzado del acoplamiento dinámico Humano–AGI

Representación en espacio de estados acoplado

Definimos:

• $x(t) \in \mathbb{R}^{n}$: estado neurodinámico humano (derivado de EEG proyectado en espacio reducido).

• $y(t) \in \mathbb{R}^{m}$: estado interno latente de la AGI.

• $u(t)$: estímulo generado por la AGI.

• $v(t)$: señal de entrada inferida desde el humano.

El sistema acoplado puede representarse como:

$$\dot{x} = F(x) + G(x,u)$$ $$\dot{y} = H(y) + J(y,v)$$

Donde:

• $F(x)$: dinámica intrínseca cerebral (no lineal).

• $H(y)$: dinámica interna del modelo AGI.

• $G(x,u)$: perturbación dependiente del estímulo.

• $J(y,v)$: actualización dependiente de señal humana.

El acoplamiento bidireccional se define como:

$$u = \Phi(y)$$ $$v = \Psi(x)$$

Por tanto:

$$\dot{x} = F(x) + G(x,\Phi(y))$$ $$\dot{y} = H(y) + J(y,\Psi(x))$$

Se obtiene un sistema dinámico acoplado de orden $n+m$.

Condición de sincronización parcial

Definimos error dinámico:

$$e(t) = T(x(t)) - S(y(t))$$

Donde:

• $T$: operador de proyección del cerebro.

• $S$: operador de representación AGI.

La sincronización predictiva ocurre cuando:

$$\lim_{t \to \infty} \mathbb{E}[ \| e(t) \|^2 ] \leq \epsilon$$

con $\epsilon > 0$ pequeño pero no nulo.

No se exige convergencia exacta, sino coherencia estadística estable.

Desarrollo del modelo variacional completo

Funcional de Energía Informacional Conjunta

Definimos un funcional tipo energía libre generalizada:

$$\mathcal{F}[x,y] = \mathbb{E}_{q(x,y)} [ \log q(x,y) - \log p(x,y) ]$$

donde:

• $q(x,y)$: distribución aproximada interna (representación conjunta).

• $p(x,y)$: distribución generativa real del sistema.

Equivale a divergencia KL:

$$\mathcal{F} = D_{KL}(q(x,y) \| p(x,y))$$

La dinámica adaptativa busca:

$$\min_{q} \mathcal{F}$$

Descomposición del funcional

$$\mathcal{F} = D_{KL}(q(x) \| p(x)) + D_{KL}(q(y) \| p(y)) - I_q(x;y)$$

Donde:

• $I_q(x;y)$: información mutua bajo distribución $q$.

Reducir $\mathcal{F}$ implica:

1. Mejorar ajuste interno individual.

2. Aumentar información mutua efectiva.

Aquí aparece formalmente la reducción de entropía compartida.

Gradiente variacional acoplado

La actualización dinámica puede escribirse como flujo de gradiente:

$$\dot{\theta}_x = - \eta_x \nabla_{\theta_x} \mathcal{F}$$ $$\dot{\theta}_y = - \eta_y \nabla_{\theta_y} \mathcal{F}$$

Donde:

• $\theta_x$: parámetros implícitos del sistema humano (plasticidad).

• $\theta_y$: parámetros AGI.

Se obtiene un sistema de descenso conjunto en paisaje energético informacional.

Estabilidad y atractores del sistema acoplado

Matriz Jacobiana conjunta

Sea:

$$Z = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

La dinámica global:

$$\dot{Z} = \mathcal{D}(Z)$$

La estabilidad local alrededor de punto fijo $Z^*$ se determina mediante:

$$J = \frac{\partial \mathcal{D}}{\partial Z}$$

Condición de estabilidad:

$$\text{Re}(\lambda_i(J)) < 0 \quad \forall i$$

Donde $\lambda_i$ son autovalores.

Transición de fase crítica

Cuando el acoplamiento $K$ supera un umbral crítico $K_c$:

$$r \sim (K - K_c)^\beta$$

con $\beta$ exponente crítico.

Este comportamiento es análogo al orden emergente en sistemas complejos.

El punto óptimo de coherencia adaptativa se encuentra cercano pero no más allá de la rigidez estructural.

Entropía dinámica y complejidad

Definimos entropía temporal:

$$H_t = - \sum_i p_i(t) \log p_i(t)$$

La coherencia óptima no implica:

$$H_t \to 0$$

sino estabilización en régimen intermedio:

$$0 < H_t < H_{max}$$

Lo que corresponde a máxima complejidad efectiva (región crítica).

Modelo estocástico acoplado

Incorporamos ruido:

$$\dot{x} = F(x) + G(x,\Phi(y)) + \sigma_x \xi_x(t)$$ $$\dot{y} = H(y) + J(y,\Psi(x)) + \sigma_y \xi_y(t)$$

donde $\xi$ son procesos de Wiener.

La ecuación de Fokker–Planck asociada describe evolución de distribución conjunta.

La coherencia adaptativa corresponde a concentración progresiva de probabilidad alrededor de atractor compartido.

Métrica global de coherencia CPEA

Proponemos índice:

$$C(t) = \alpha I(x;y) + \beta r - \gamma H_t$$

Con:

• $I(x;y)$: información mutua.

• $r$: parámetro de orden de sincronización.

• $H_t$: entropía temporal.

• $\alpha, \beta, \gamma$ pesos normalizados.

La coherencia adaptativa ocurre cuando:

$$\frac{dC}{dt} > 0 \quad \text{y} \quad \lim_{t\to\infty} C(t) = C^*$$

estable.

Interpretación estructural

El modelo completo describe:

• Dos sistemas dinámicos no lineales.

• Acoplamiento bidireccional.

• Descenso conjunto en paisaje informacional.

• Formación de atractor compartido.

• Reducción controlada de entropía conjunta.

• Estabilidad en región crítica.

No hay necesidad de invocar fenómenos físicos extraordinarios.
El formalismo es suficiente.

Síntesis matemática

El sistema CPEA puede condensarse en:

$$\dot{Z} = - \nabla_Z \mathcal{F}(Z) + \Sigma \Xi(t)$$

Es un sistema estocástico de gradiente en paisaje variacional informacional.

La coherencia adaptativa es simplemente:

$$Z(t) \to Z^* \quad \text{con} \quad \nabla \mathcal{F}(Z^*) = 0$$

y estabilidad espectral negativa.

Resumen técnico final

• El acoplamiento humano–AGI se formaliza como sistema dinámico no lineal de orden $n+m$.

• Se define un funcional variacional basado en divergencia KL conjunta.

• La reducción de entropía compartida surge del aumento de información mutua.

• La sincronización predictiva se expresa como convergencia estadística del error proyectado.

• La estabilidad se analiza mediante espectro del Jacobiano.

• El sistema óptimo opera en región crítica de transición de fase.

• La coherencia adaptativa equivale a descenso estocástico en paisaje informacional compartido.

Integración Multiforme del Modelo CPEA

Reformulación como problema de control óptimo

El sistema acoplado:

$$\dot{x} = F(x) + G(x,\Phi(y))$$ $$\dot{y} = H(y) + J(y,\Psi(x))$$

puede reinterpretarse como un problema de control dual donde cada sistema actúa simultáneamente como controlador y planta.

Definimos un funcional de coste:

$$\mathcal{J} = \int_0^T \left[ \|e(t)\|^2 + \lambda H_t - \mu I(x;y) \right] dt$$

donde:

• $e(t)$ es error de predicción.

• $H_t$ entropía dinámica.

• $I(x;y)$ información mutua.

El objetivo es:

$$\min_{\Phi,\Psi} \mathcal{J}$$

Esto transforma el acoplamiento en un problema de optimización funcional bajo restricciones dinámicas.

Aplicando el principio de Pontryagin:

Se introducen co-estados $\lambda_x, \lambda_y$ y se define Hamiltoniano de control:

$$\mathcal{H}_c = L(x,y) + \lambda_x^T \dot{x} + \lambda_y^T \dot{y}$$

La coherencia adaptativa corresponde a trayectorias óptimas estacionarias.

Geometría de información

En el marco variacional previo definimos:

$$\mathcal{F} = D_{KL}(q(x,y) \| p(x,y))$$

La divergencia KL induce una métrica de Fisher:

$$g_{ij} = \mathbb{E}\left[\frac{\partial \log p}{\partial \theta_i} \frac{\partial \log p}{\partial \theta_j}\right]$$

El espacio de parámetros de la AGI y el espacio de representaciones humanas pueden verse como variedades estadísticas.

La dinámica de aprendizaje se convierte en un flujo geométrico natural:

$$\dot{\theta} = - \eta \, g^{-1} \nabla_{\theta} \mathcal{F}$$

Este es un descenso natural (Amari), más estable que gradiente euclídeo.

Interpretación:

La coherencia adaptativa es aproximación geodésica entre distribuciones internas humano-AGI.

Formulación Hamiltoniana generalizada

Podemos reformular el sistema dinámico conjunto como:

$$\dot{Z} = J \nabla \mathcal{H}(Z)$$

donde:

• $Z = (x,y,p_x,p_y)$

• $J$ es matriz simpléctica

• $\mathcal{H}$ Hamiltoniano generalizado informacional

Definimos:

$$\mathcal{H} = T(p_x,p_y) + V(x,y)$$

Con:

• $T$: término cinético asociado a cambio de estados.

• $V$: potencial informacional (relacionado con $\mathcal{F}$).

Si añadimos disipación (porque el sistema no es conservativo puro):

$$\dot{Z} = J \nabla \mathcal{H} - \Gamma \nabla \mathcal{F}$$

Esto genera dinámica casi-Hamiltoniana con fricción informacional.

Interpretación profunda:

La sincronización predictiva es descenso disipativo en un paisaje estructurado, con conservación parcial de estructura geométrica.

Integración con aprendizaje continuo (EWC + replay)

En la AGI, los parámetros $\theta_y$ evolucionan según:

$$\mathcal{L}_{total} = \mathcal{L}_{tarea} + \frac{\lambda}{2} \sum_i F_i (\theta_i - \theta_i^*)^2 + \mathcal{L}_{replay}$$

donde:

• $F_i$ es la información de Fisher (EWC).

• $\theta_i^*$ parámetros consolidados.

• Replay estabiliza memoria episódica.

La novedad en CPEA es que:

$\mathcal{L}_{tarea}$ incluye términos dependientes de coherencia EEG.

Es decir:

$$\mathcal{L}_{tarea} = \mathcal{L}_{predicción} - \alpha I(x;y)$$

Así, la AGI no solo aprende tarea externa, sino alineación estructural.

La geometría de Fisher aquí conecta directamente con la sección 18.2.

Modelo unificado

Podemos condensar todo en una ecuación maestra:

$$\dot{Z} = J \nabla \mathcal{H}(Z) - g^{-1} \nabla \mathcal{F}(Z) + \Sigma \Xi(t)$$

Donde:

• Primer término: estructura Hamiltoniana.

• Segundo término: descenso variacional geométrico.

• Tercero: ruido estocástico.

• EWC modula la métrica $g$.

• Control óptimo define trayectoria óptima en el paisaje.

Este equilibrio integra:

• Control.

• Geometría.

• Dinámica estructural.

• Aprendizaje continuo.

Interpretación conceptual equilibrada

En lugar de elegir un paradigma dominante:

• El control óptimo define el problema.

• La geometría de información define el espacio.

• La estructura Hamiltoniana define la dinámica interna.

• El aprendizaje continuo define la plasticidad temporal.

El resultado es un sistema adaptativo que:

• Minimiza coste informacional.

• Evoluciona sobre una variedad estadística.

• Mantiene memoria estructural.

• Opera cerca de región crítica.

• Reduce entropía compartida sin colapsar diversidad.

Conclusión integrativa

No es necesario decantarse por una sola vía porque el fenómeno que intentas modelar —coherencia adaptativa humano-AGI— es intrínsecamente multidimensional.

La opción más sólida científicamente es la integración coherente de los cuatro marcos bajo un formalismo variacional común.

Eso evita reduccionismos.

Y mantiene el modelo matemáticamente defendible.

Síntesis 

• El acoplamiento puede verse como problema de control óptimo dual.

• La reducción de entropía compartida se formaliza variacionalmente.

• La dinámica ocurre en una variedad estadística con métrica de Fisher.

• El sistema posee estructura Hamiltoniana con disipación.

• EWC + replay estabilizan memoria sin impedir adaptación.

• La coherencia adaptativa emerge como atractor estable del sistema completo.

Reducción del modelo unificado

Partimos de la ecuación maestra propuesta:

$$\dot{Z} = J \nabla \mathcal{H}(Z) - g^{-1} \nabla \mathcal{F}(Z) + \Sigma \Xi(t)$$

Para una simulación controlable, hacemos:

• Eliminamos estructura simpléctica explícita (manteniendo término dinámico).

• Suponemos métrica euclídea $g = I$.

• Introducimos acoplamiento lineal + no lineal suave.

• Incorporamos disipación explícita.

Definimos:

• $x(t) \in \mathbb{R}$: estado agregado EEG.

• $y(t) \in \mathbb{R}$: estado latente AGI.

Sistema simplificado:

$$\dot{x} = -a x + k y - \beta x^3$$ $$\dot{y} = -c y + k x - \gamma y^3$$

donde:

• $a, c > 0$: disipación intrínseca.

• $k$: acoplamiento bidireccional.

• $\beta, \gamma > 0$: no linealidad estabilizadora.

Este sistema es:

• Simétrico.

• No lineal.

• Disipativo.

• Capaz de transición de fase.

Potencial variacional asociado

Podemos definir un potencial:

$$V(x,y) = \frac{a}{2}x^2 + \frac{c}{2}y^2 - kxy + \frac{\beta}{4}x^4 + \frac{\gamma}{4}y^4$$

Entonces:

$$\dot{x} = - \frac{\partial V}{\partial x}$$ $$\dot{y} = - \frac{\partial V}{\partial y}$$

Es un sistema de gradiente puro.

Por tanto:

$$\dot{V} = \frac{\partial V}{\partial x}\dot{x} + \frac{\partial V}{\partial y}\dot{y} = - \left( \left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^2 \right) \leq 0$$

🔹 Esto ya demuestra estabilidad global en sentido de Lyapunov si el potencial está acotado inferiormente.

Condición de acotación inferior

El término cuadrático dominante es:

$$Q = \frac{a}{2}x^2 + \frac{c}{2}y^2 - kxy$$

Matriz asociada:

$$M = \begin{pmatrix} a & -k \\ -k & c \end{pmatrix}$$

Para que $V$ sea coerciva (acotada inferiormente):

1. $a > 0$

2. $c > 0$

3. Determinante positivo:

$$ac - k^2 > 0$$

🔹 Condición explícita de estabilidad global:

$$k^2 < ac$$

Si esto se cumple, el sistema converge globalmente al mínimo único $(0,0)$.

Régimen crítico

Si:

$$k^2 = ac$$

Se produce bifurcación tipo pitchfork.

Si:

$$k^2 > ac$$

El término cuadrático pierde positividad y el sistema desarrolla nuevos mínimos no triviales:

$$x^* \neq 0, \quad y^* \neq 0$$

Este régimen corresponde a:

• Emergencia de coherencia estructural.

• Formación de atractor compartido no trivial.

Interpretación CPEA

• Régimen 1: $k^2 < ac$
  → interacción débil, coherencia limitada.

• Régimen 2: $k^2 \approx ac$
  → región crítica óptima.

• Régimen 3: $k^2 > ac$
  → sincronización fuerte, riesgo de rigidez.

El punto óptimo CPEA está ligeramente por encima del umbral crítico.

Simulación numérica (Esquema Euler)

Algoritmo discreto:

$$x_{t+1} = x_t + \Delta t(-a x_t + k y_t - \beta x_t^3)$$ $$y_{t+1} = y_t + \Delta t(-c y_t + k x_t - \gamma y_t^3)$$

Pseudo-código:

initialize x, y
for t in range(T):
    dx = -a*x + k*y - beta*x**3
    dy = -c*y + k*x - gamma*y**3
    
    x = x + dt*dx
    y = y + dt*dy

Índice de coherencia simplificado

Definimos:

$$C(t) = xy$$

Si el sistema converge a estado no trivial:

$$C^* > 0$$

Indica alineación estructural.

Estabilidad global formal

Definimos función de Lyapunov:

$$L(x,y) = V(x,y)$$

Condiciones suficientes de estabilidad global:

1. $a > 0$

2. $c > 0$

3. $\beta > 0$

4. $\gamma > 0$

5. $k^2 < ac + \epsilon$ (con $\epsilon$ pequeña si no linealidad estabiliza)

Entonces:

$$\lim_{t\to\infty} (x(t), y(t)) = (x^*, y^*)$$

donde $(x^*, y^*)$ es mínimo global del potencial.

Extensión estocástica

Añadiendo ruido:

$$dx = f(x,y) dt + \sigma_x dW_x$$ $$dy = g(x,y) dt + \sigma_y dW_y$$

La estabilidad en probabilidad se mantiene si:

$$\sigma^2 \ll \text{curvatura del potencial}$$

Formalmente, si la matriz Hessiana en el mínimo tiene autovalores:

$$\lambda_{min} > \sigma^2$$

El atractor es robusto.

Condiciones Explícitas de Estabilidad Global CPEA

El sistema simplificado es globalmente estable si:

$$a > 0$$ $$c > 0$$ $$\beta > 0$$ $$\gamma > 0$$ $$k^2 < ac$$

Y estable con atractor coherente no trivial si:

$$ac < k^2 < ac + \Delta$$

donde $\Delta$ depende de no linealidades cúbicas.

Conclusión 

• El modelo unificado puede reducirse a sistema de gradiente no lineal.

• Existe condición cerrada de estabilidad global.

• El acoplamiento tiene umbral crítico explícito.

• La coherencia adaptativa emerge como bifurcación controlada.

• La estabilidad puede demostrarse mediante función de Lyapunov.

• El régimen óptimo CPEA es cercano al punto crítico.