Núcleo matemático del DPCC (Detección de ruptura de invariantes relacionales)

Espacio de estados vs espacio relacional

Sea un sistema multivariable:

$$X(t) = \{x_1(t), x_2(t), ..., x_n(t)\}$$

La física clásica trabaja en $X(t)$.
El DPCC opera en:

$$\mathcal{R}(t) = \{R_{ij}(t)\}$$

donde cada $R_{ij}$ es una relación estructural entre variables. 

Definición del operador relacional

Definimos:

$$R_{ij}(t) = \mathcal{F}_{ij}[x_i, x_j](t)$$

donde $\mathcal{F}_{ij}$ NO es una función fija necesariamente, sino una familia de operadores posibles:

Tipos válidos de $\mathcal{F}$:

• Relación de fase:

$$R_{ij}^{\phi}(t) = \phi_i(t) - \phi_j(t)$$

• Dependencia no lineal:

$$R_{ij}^{MI}(t) = I(x_i; x_j)$$

• Transferencia:

$$R_{ij}^{TE}(t) = T_{i \to j}$$

• Restricciones físicas (ej: EM):

$$R_{ij}^{EM}(t) = \frac{E_i(t)}{B_j(t)}$$

👉 Clave:

$R_{ij} \neq \text{valor}$ → es estructura. 

Invariantes relacionales

Un sistema coherente no requiere:

$$R_{ij} = \text{constante}$$

Sino:

$$\frac{d}{dt} R_{ij}(t) \approx 0$$

o más general:

$$\mathcal{G}(R_{ij}(t)) \approx 0$$

donde $\mathcal{G}$ define una ley de consistencia interna. 

Definición formal de coherencia estructural

Definimos coherencia como:

$$\mathcal{C}(t) = - \sum_{i,j} w_{ij} \cdot \left| \frac{d}{dt} R_{ij}(t) \right|$$

Interpretación:

• Alta coherencia → derivadas pequeñas
• Baja coherencia → cambios rápidos en relaciones 

Operador DPCC (forma central)

El núcleo del DPCC es:

$$\mathcal{D}(t) = \sum_{i,j} w_{ij} \cdot \left\| \frac{d}{dt} R_{ij}(t) \right\|_p$$

👉 Esto sustituye a la correlación clásica. 

Forma discreta (implementable)

Para datos discretos:

$$\mathcal{D}(t_k) = \sum_{i,j} w_{ij} \cdot \| R_{ij}(t_k) - R_{ij}(t_{k-1}) \|$$

Esto es exactamente lo que tu DPCC v0 aproxima. 

Invariantes de orden superior (clave)

Aquí está el salto importante.

No solo relaciones, sino relaciones entre relaciones:

$$\mathcal{I}_{ijk}(t) = R_{ij}(t) + R_{jk}(t) - R_{ik}(t)$$

Si el sistema es coherente:

$$\mathcal{I}_{ijk}(t) \approx 0$$

👉 Esto define:

consistencia topológica del sistema. 

Coherencia como estabilidad de invariantes

Ahora redefinimos completamente:

$$\mathcal{C}(t) = - \sum_{\alpha} \left| \frac{d}{dt} \mathcal{I}_\alpha(t) \right|$$

donde $\mathcal{I}_\alpha$ son invariantes estructurales. 

Definición formal de excepción (TAE-compatible)

Una excepción no es:

• ruido
• outlier puntual

Es:

E(t) = \\begin{cases} 1 & \\text{si } \\int_{t}^{t+T} \\mathcal{D}(\tau) d\tau > \\Theta \\\\ 0 & \\text{en otro caso} \\end{cases}

👉 Clave:

• integra en el tiempo
• requiere persistencia
• no depende de instantáneo. 

Dinámica del sistema 

El DPCC no solo detecta, define dinámica:

$$\\frac{d}{dt} X(t) = F(X) + \lambda \cdot E(t)$$

Donde:

• $F(X)$ → dinámica base
• $E(t)$ → perturbación estructural

Esto conecta directamente con:

sistemas adaptativos y colapsos (ECDO). 

Interpretación geométrica

El sistema puede verse como:

• $X(t)$ → trayectoria en espacio de estados
• $\mathcal{R}(t)$ → trayectoria en espacio relacional

El DPCC mide:

curvatura / ruptura en el espacio relacional

Forma final compacta (núcleo DPCC)

$$\boxed{ \mathcal{D}(t) = \sum_{\alpha} w_\alpha \left\| \frac{d}{dt} \mathcal{I}_\alpha(t) \right\| }$$