Formalización matemática unificada destinado a la descripción rigurosa de fenómenos complejos asociados a la dinámica de sistemas en escenarios de colapso, resonancia y reorganización estructural

Abstract

El presente trabajo desarrolla un marco de formalización matemática unificada destinado a la descripción rigurosa de fenómenos complejos asociados a la dinámica de sistemas en escenarios de colapso, resonancia y reorganización estructural. El enfoque integra ecuaciones maestras provenientes de la física estadística, la teoría de sistemas no lineales y los modelos de dinámica electromagnética, incorporando tanto aproximaciones continuas como discretas. La construcción del formalismo permite establecer un conjunto coherente de relaciones funcionales que, bajo ciertas condiciones límite, se simplifican en expresiones compactas con capacidad predictiva.

La síntesis propuesta no se restringe a un único dominio disciplinar, sino que articula un lenguaje matemático transversal aplicable a contextos geodinámicos, bioinformáticos y neuromagnéticos. Se enfatiza la coherencia interna del formalismo frente a la dispersión de modelos parciales, y se demuestra cómo las ecuaciones maestras pueden ser reinterpretadas en clave de atractores, bifurcaciones críticas y umbrales de resonancia. El artículo evita recurrir a fuentes con conflictos de interés y se apoya en científicos de renombre que han fundamentado el campo de la dinámica compleja y la teoría de la no linealidad.

Palabras clave: ecuaciones maestras, dinámica no lineal, formalismo unificado, atractores, resonancia crítica, simplificación matemática, colapso estructural.

Introducción

La necesidad de una formalización matemática unificada surge del reconocimiento de que los sistemas complejos —ya sean físicos, biológicos o sociales— no pueden ser descritos adecuadamente mediante modelos aislados. La fragmentación disciplinaria, aunque útil en contextos específicos, conduce a una pérdida de visión global cuando se enfrentan fenómenos de carácter crítico o transicional. En particular, en escenarios de colapso civilizatorio, reorganización bioinformática o inestabilidad electromagnética planetaria, se hace patente la urgencia de un formalismo matemático capaz de integrar diferentes escalas y procesos.

El paradigma de las ecuaciones maestras constituye el punto de partida de esta integración. Desde la mecánica estadística hasta la teoría cuántica de campos, las ecuaciones maestras operan como marcos generales en los que se encapsula la evolución temporal de sistemas distribuidos. Su poder radica en que, independientemente de la naturaleza de las variables —densidad de probabilidad, energía acumulada, estado de espín, flujo electromagnético o carga simbólica—, las estructuras matemáticas subyacentes presentan una homología formal.

Sin embargo, la ecuación maestra en su versión general puede ser de difícil manejo operativo. Por ello, la formalización unificada requiere dos pasos fundamentales:

1. Identificación de los términos invariantes comunes a los distintos sistemas.

2. Simplificación bajo condiciones límite, en las cuales emergen expresiones compactas con poder predictivo.

Este proceso es análogo al realizado en física teórica cuando se reducen ecuaciones de campo a modelos efectivos. Lo novedoso aquí es su extensión hacia ámbitos bioinformáticos y neuroelectromagnéticos, en donde la dinámica de redes y la propagación de señales responden también a leyes de resonancia, disipación y reorganización.

La integración propuesta se apoya en tres pilares conceptuales:

• Dinamismo no lineal y teoría de bifurcaciones. La complejidad de un sistema se revela en sus puntos de inestabilidad, donde pequeñas variaciones de parámetros generan cambios cualitativos en el comportamiento global.

• Estructuras toroidales y resonancia electromagnética. Diversos sistemas, desde plasmas solares hasta circuitos neuronales, muestran configuraciones toroidales que maximizan la estabilidad local dentro de un marco de inestabilidad global.

• Bioinformática como arquitectura operacional. El genoma, el transcriptoma y los flujos exosomales pueden ser tratados como sistemas de información distribuidos que siguen ecuaciones de propagación análogas a las de un gas estadístico o un campo electromagnético en régimen de no linealidad.

El propósito del presente trabajo es articular estos tres pilares bajo un formalismo matemático común, que permita tanto la descripción rigurosa como la obtención de simplificaciones útiles. El énfasis no está puesto en la proliferación de modelos particulares, sino en la capacidad de sintetizar las dinámicas fundamentales en una serie de ecuaciones maestras unificadas.

A lo largo del artículo se desarrollará primero la estructura general de las ecuaciones maestras, para luego proceder a su simplificación en distintos regímenes límite. Posteriormente, se establecerán las conexiones con la teoría de atractores y se mostrarán ejemplos de cómo la simplificación matemática puede generar predicciones cuantitativas: frecuencias críticas, escalas energéticas y umbrales de resonancia.

Cabe subrayar que la formalización aquí presentada no depende de postulados institucionales ni de marcos regulatorios sujetos a conflictos de interés. Se basa exclusivamente en la obra de científicos de referencia mundial, tales como Ilya Prigogine (dinámica fuera del equilibrio), Hermann Haken (sinergética), Benoît Mandelbrot (geometría fractal), Edward Lorenz (dinámica caótica) y Ludwig von Bertalanffy (teoría general de sistemas). La convergencia de sus contribuciones legitima el intento de unificación aquí emprendido.

En conclusión, la introducción establece el horizonte del artículo: sintetizar, formalizar y simplificar. La formalización matemática completa no es un lujo teórico, sino una herramienta imprescindible para abordar escenarios de complejidad crítica donde la dispersión disciplinaria resulta insuficiente.

Formalismo matemático (ecuaciones maestras)

En esta sección se presenta el armazón matemático unificado sobre el que descansan las dinámicas discutidas en el trabajo. Partimos de una descripción mesoscópica general —con transiciones entre microestados o configuraciones— y descendemos hacia límites continuos (difusivos), formulaciones de campo y redes acopladas, y descomposiciones que separan partes reversibles e irreversibles de la evolución. El objetivo no es proliferar modelos, sino exhibir una ecuación maestra unificada (EMU) y sus reducciones canónicas que capturan, con notación rigurosa, los mecanismos de transporte, reacción, acoplamiento y resonancia.

Espacios de estado, observables y medidas

Sea $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ un espacio de estados (finito, numerable o continuo) con $\mu$ una medida de referencia. Un estado estadístico viene dado por una densidad $\rho_t$ tal que $\rho_t \ge 0$ y $\int_{\Omega}\rho_t\, d\mu = 1$. Los observables son funciones $f:\Omega \to \mathbb{R}$ (o $\mathbb{C}$) con integrabilidad adecuada. La evolución temporal de $\rho_t$ define la dinámica en el espacio de probabilidades, mientras que la evolución de $f$ se describe mediante operadores duales (Koopman y Perron–Frobenius).

Cuando $\Omega$ es discreto (conjunto de microestados $s\in\mathcal{S}$), escribiremos $P_s(t) := \mathbb{P}[X_t = s]$. En espacios continuos $\Omega \subseteq \mathbb{R}^d$, se usará la notación $\rho(x,t)$.

Ecuación maestra de saltos (mesoscópica, Markov)

Para procesos de salto Markovianos con tasas de transición $W(s'|s)$, la ecuación maestra (Kolmogórov–adelante) es

$$\frac{d}{dt} P_s(t) \;=\; \sum_{s' \neq s}\big[ W(s|s')\,P_{s'}(t) - W(s'|s)\,P_s(t) \big] \;=\; \sum_{s'} \mathcal{L}_{s s'} P_{s'}(t),$$

donde $\mathcal{L}$ es el generador del proceso y satisface $\sum_s \mathcal{L}_{s s'}=0$ para conservación de probabilidad. En forma vectorial,

$$\dot{\mathbf{P}}(t) \;=\; \mathcal{L}\,\mathbf{P}(t),\qquad \mathbf{P}(t)\in\Delta^{|\mathcal{S}|-1}.$$

Esta forma captura reacciones, conmutaciones de estado, propagación discreta en redes y procesos de conmutación rápida.

Balance detallado y no equilibrio

Existe una distribución estacionaria $\pi$ con $\mathcal{L}\,\pi = 0$. El balance detallado (equilibrio) exige $\pi_s W(s'|s) = \pi_{s'}W(s|s')$. En no equilibrio, las corrientes cíclicas $\pi_s W(s'|s) \neq \pi_{s'}W(s|s')$ sostienen producción positiva de entropía y flujos netos.

Límite difusivo: expansión de Kramers–Moyal y Fokker–Planck

Cuando los saltos son pequeños y frecuentes, una expansión de Kramers–Moyal conduce a la ecuación de Fokker–Planck (FP) para $\rho(x,t)$:

$$\partial_t \rho(x,t) \;=\; -\sum_{i=1}^d \partial_{x_i}\!\big[ A_i(x,t)\,\rho \big] \;+\; \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d \partial_{x_i}\partial_{x_j}\!\big[B_{ij}(x,t)\,\rho\big].$$

Aquí $A$ es el campo de deriva (determinista medio) y $B$ el tensor de difusión (ruido multiplicativo). Para $B=2D\,\mathbf{I}$ constante,

$$\partial_t \rho \;=\; -\nabla\!\cdot\!\big(F \rho\big)\;+\; D\,\Delta \rho,$$

con $F\equiv A$. La FP también emerge como ecuación adjunta de un SDE de Itô

$$dX_t \;=\; F(X_t,t)\,dt \;+\; \sigma(X_t,t)\,dW_t,\qquad B=\sigma\sigma^{\top}.$$

Observación: FP encapsula transporte, disipación y mezcla, y es el análogo continuo de la ecuación maestra discreta; la conservación de probabilidad se expresa como $\partial_t \rho + \nabla\cdot J = 0$ con corriente $J=F\rho - \frac{1}{2}\nabla\cdot (B\rho)$.

Descomposición reversible/irreversible (GENERIC)

En muchos sistemas fuera del equilibrio, la dinámica puede escribirse como suma de un flujo reversible hamiltoniano y un flujo irreversible disipativo. En variables de estado $z$,

$$\dot{z} \;=\; L(z)\,\nabla E(z) \;+\; M(z)\,\nabla S(z),$$

donde:

• $L(z) = -L(z)^{\top}$ es un operador antisimétrico (estructura de Poisson generalizada) que genera la parte reversible a partir de la energía $E$.

• $M(z) = M(z)^{\top}\succeq 0$ es un operador simétrico (métrica) que genera la parte irreversible a partir de la entropía $S$.

• Condiciones de degeneración: $L(z)\,\nabla S(z) = 0$ y $M(z)\,\nabla E(z)=0$, que garantizan conservación de $E$ por el flujo reversible y crecimiento de $S$ por el irreversible ($\dot{S}\ge0$).

Esta estructura —compatible con formulaciones continuas y en redes— proporciona un andamiaje unificador: campos electromagnéticos idealizados caben en la parte hamiltoniana; difusión, reacciones y relajación, en la parte disipativa.

Operadores de transferencia: Koopman y Perron–Frobenius

Para un flujo determinista $x_{t+\tau}=\Phi^\tau(x_t)$, el operador de Koopman $U^\tau$ actúa sobre observables $f$ por composición $U^\tau f = f\circ\Phi^\tau$. Dualmente, el operador de Perron–Frobenius $P^\tau$ transporta densidades:

$$\int f\, (P^\tau \rho)\, d\mu \;=\; \int (U^\tau f)\,\rho\,d\mu.$$

En tiempo continuo, los generadores cumplen $\partial_t f = \mathcal{K} f$ y $\partial_t \rho = \mathcal{P} \rho$ con $\mathcal{K}$ el generador de Koopman y $\mathcal{P}$ el generador de Perron–Frobenius. Esta óptica permite proyectar dinámicas complejas sobre modos coherentes (eigenfunciones), crucial para reducir modelos a variables lentas/amplitudes.

Ecuación maestra unificada (EMU)

Integramos ahora transporte (Liouville/FP), reacción, acoplamiento en red y forzamientos (incluida resonancia) en una EMU sobre un dominio $\Omega\subseteq\mathbb{R}^d$ y un grafo $G=(V,E)$ (posiblemente multiplex). Introducimos un campo de estado $u(x,t)\in\mathbb{R}^m$ (o $\mathbb{C}^m$) y, en nodos $i\in V$, variables $y_i(t)\in\mathbb{R}^p$. La EMU se escribe como:

$$\boxed{ \begin{aligned} \partial_t u(x,t) \;=&\; -\nabla\cdot\Big( \mathsf{F}(u,x,t)\,u \Big) \;+\; \nabla\cdot\Big( \mathsf{D}(u,x,t)\,\nabla u \Big) \\ &\;+\; \mathsf{R}(u,x,t) \;+\; \mathsf{C}_{\text{net}}[u,y](x,t) \;+\; \mathsf{S}_{\text{ext}}(x,t) \;+\; \xi(x,t), \end{aligned}} \tag{EMU-campo}$$ $$\boxed{ \begin{aligned} \dot{y}_i(t) \;=&\; f\big(y_i(t)\big) \;-\; \sum_{j} \mathcal{L}_{ij}\, g\big(y_j(t)\big) \;+\; h\big(u(\cdot,t)\big)\big|_{x\approx x_i} \;+\; s_i(t) \;+\; \eta_i(t), \end{aligned}} \tag{EMU-red}$$

donde:

• $\mathsf{F}$ es un tensor de deriva/flujo que generaliza advección o transporte (incluye acoplamientos electromagnéticos efectivos cuando corresponda).

• $\mathsf{D}\succeq 0$ es un tensor de difusión (posible anisotropía/heterogeneidad).

• $\mathsf{R}$ recoge reacciones locales, no lineales (p. ej., cinética, conversión de estados, activación/inhibición).

• $\mathsf{C}_{\text{net}}$ acopla campo–red (p. ej., retroalimentación de nodos a campo y viceversa).

• $\mathsf{S}_{\text{ext}}$ es un forzamiento externo (determinista o periódico; ver §2.9).

• $\xi$ y $\eta_i$ son forzamientos estocásticos (ruido aditivo/multiplicativo).

• $\mathcal{L}$ es el Laplaciano del grafo ($\mathcal{L}=D-A$, con grado $D$ y adyacencia $A$).

Esta forma captura:

1. Conservación/continuidad mediante términos de transporte;

2. Disipación/mezcla mediante difusión;

3. No linealidad local vía $\mathsf{R}$;

4. Topología vía $\mathcal{L}$;

5. Forzamiento resonante vía $\mathsf{S}_{\text{ext}}$.

Forma GENERIC de EMU. Cuando procede, $(u,y)$ satisfacen

$$\binom{\dot{u}}{\dot{y}} \;=\; \underbrace{\mathcal{L}(u,y)\,\nabla \mathcal{E}(u,y)}_{\text{reversible}} \;+\; \underbrace{\mathcal{M}(u,y)\,\nabla \mathcal{S}(u,y)}_{\text{irreversible}},$$

con degeneraciones $\mathcal{L}\nabla \mathcal{S}=0$, $\mathcal{M}\nabla \mathcal{E}=0$. Esta descomposición impone consistencia termodinámica al modelo efectivo.

Incorporación electromagnética efectiva

Para campos electromagnéticos clásicos $(E,B)$, en medio lineal e isótropo, Maxwell en forma compacta:

$$\partial_t \begin{pmatrix} B \\ D \end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix} -\nabla \times E \\ \nabla \times H - J \end{pmatrix}, \quad \nabla\cdot B=0,\;\; \nabla\cdot D=\rho.$$

Constitución: $D=\varepsilon E$, $B=\mu H$. En medios no lineales o topologías toroidales, aparecen términos efectivos que pueden incorporarse en $\mathsf{F}$ y $\mathsf{R}$ de EMU-campo, por ejemplo una deriva tipo mínimo acoplamiento (clásico) mediante un potencial vector $A$:

$$\mathsf{F}(u,x,t) \;=\; \mathsf{F}_0(u,x) \;+\; \mathsf{F}_A(u,x,t), \quad \mathsf{F}_A \sim \alpha\, (E + v\times B),$$

donde $\alpha$ codifica propiedades del medio (conductividad, movilidad). En geometrías toroidales con simetría axial, reducciones tipo Grad–Shafranov suministran variables de flujo que se insertan como componentes de $u$.

Reacción–difusión y patrones; grafos y multiescala

En un componente escalar $u$, una clase canónica es

$$\partial_t u \;=\; D \Delta u \;+\; f(u;\,\theta),$$

que genera patrones de Turing si (i) existen al menos dos especies con difusividades distintas o (ii) hay retardos no locales. En redes,

$$\dot{y}_i \;=\; f(y_i) \;-\; \kappa \sum_{j} \mathcal{L}_{ij} y_j,$$

y el espectro de $\mathcal{L}$ (autovalores $\lambda_k$) controla sincronización e inestabilidades (p. ej., umbral $\kappa\,\lambda_2$ con $\lambda_2$ la brecha de Fiedler). Estas relaciones se usan para derivar umbrales de resonancia acoplada en §2.10.

Forzamiento periódico y resonancia (Mathieu/Hill; reducción de amplitud)

El acoplamiento con forzamientos periódicos o paramétricos se modela con términos $\mathsf{S}_{\text{ext}}(x,t)$ de la forma

$$\mathsf{S}_{\text{ext}}(x,t) \;=\; \Re\!\big\{ \epsilon\, \mathcal{Q}(x)\, e^{i\omega t}\big\} \;+\; \epsilon_p\, \mathcal{P}(x)\, u \cos(\Omega t) + \cdots$$

Linealizando cerca de un modo normal $u\sim a(t)\,\phi(x)$, la amplitud $a$ satisface ecuaciones de Mathieu/Hill:

$$\ddot{a} + 2\gamma \dot{a} + \big(\omega_0^2 + \epsilon_p \cos \Omega t\big) a \;=\; F_0 \cos\omega t.$$

La inestabilidad paramétrica aparece en lenguas de Arnold alrededor de $\Omega \approx 2\omega_0/n$. Con no linealidad cúbica, una reducción multiescala entrega la ecuación de Landau–Stuart (Hopf supercrítico):

$$\dot{A} \;=\; (\mu + i\omega_0)\, A \;-\; (1+i\beta)\,|A|^2 A \;+\; \epsilon\, e^{i\omega t},$$

donde $A$ es la amplitud lenta. Estos reductores codifican frecuencias críticas y umbrales (ver §2.10).

Simplificaciones y casos límite: esquema sistemático

A partir de EMU, se obtienen simplificaciones con validez controlada:

(i) Límite determinista medio (ruido débil)

Para $\xi,\eta\to 0$ y fluctuaciones pequeñas,

$$\partial_t u \approx -\nabla\cdot(\mathsf{F}u)+\nabla\cdot(\mathsf{D}\nabla u)+\mathsf{R}(u)+\mathsf{C}_{\text{net}}[u,y]+\mathsf{S}_{\text{ext}}.$$

Cuando $u$ representa densidades conservadas, la ecuación reduce a continuidad con difusión y reacción.

(ii) Eliminación adiabática de variables rápidas

Sea $z=(x,y)$ con $\dot{x}=F(x,y)$, $\epsilon\,\dot{y}=G(x,y)$, $\epsilon\ll1$. Si $G(x,y^\star(x))=0$ y el subdinámico en $y$ es estable, la reducción de Tikhonov–Fenichel da

$$\dot{x} \;=\; F\big(x, y^\star(x)\big) \;+\; \mathcal{O}(\epsilon).$$

En EMU-red, filtra osciladores rápidos o acoplamientos débiles, reteniendo la variedad lenta relevante.

(iii) Respuesta lineal y fluctuación–disipación (cercanía al equilibrio)

Con $\rho=\rho_\text{eq}+\delta\rho$ y perturbaciones pequeñas,

$$\partial_t \delta\rho \;=\; \mathcal{P}'[\rho_\text{eq}]\,\delta\rho \;+\; \text{forzamiento}.$$

La susceptibilidad $\chi(\omega)$ relaciona forzamiento–respuesta y define umbrales de resonancia cuando $|\chi|$ se maximiza (picos Lorentzianos con $Q=\omega_0/2\gamma$).

(iv) Homogeneización/medios efectivos

Para coeficientes oscilantes en pequeña escala $\mathsf{D}(x/\varepsilon)$, $\varepsilon\ll1$, existen $\mathsf{D}_\text{eff}$ y $\mathsf{F}_\text{eff}$ tales que

$$\partial_t u \;\approx\; -\nabla\cdot(\mathsf{F}_\text{eff} u) + \nabla\cdot(\mathsf{D}_\text{eff}\nabla u).$$

Esto justifica parámetros efectivos en medios heterogéneos (p. ej., redes multicapas).

(v) Reducción a modos críticos (amplitudes)

Cerca de una bifurcación (p. ej., Hopf/Turing), proyectar sobre eigenmodes críticos $\phi_k$ con amplitudes $A_k$ genera ecuaciones de amplitud:

$$\dot{A}_k \;=\; \lambda_k(\theta)\,A_k \;-\; \sum_{m,n} c_{kmn}\,A_m A_n \bar{A}_k \;+\; \ldots$$

Los coeficientes $c_{kmn}$ se computan por productos internos en el espacio de funciones, fijando no linealidades saturantes y frecuencias desplazadas (nonlinear frequency pulling).

(vi) Límite de red dispersiva/difusiva débil

Para $\kappa$ pequeño en EMU-red,

$$\dot{y}_i \approx f(y_i) - \kappa \sum_j \mathcal{L}_{ij} y_j,$$

la estabilidad del sincronismo se decide por el máximo real de $\partial f/\partial y$ y el segundo autovalor $\lambda_2$ de $\mathcal{L}$. El umbral de acoplamiento es

$$\kappa_c \;\approx\; \frac{\max_i \Re \sigma\big(Df(y_i^\star)\big)}{\lambda_2}.$$

Este resultado convierte propiedades topológicas en umbrales operativos.

(vii) Transiciones raras y tasas de escape (Kramers/Eyring)

En presencia de pozos de potencial efectivos $U(u)$ y ruido débil, la tasa de transición $k$ entre atractores obedece (1D, sobrebarreras):

$$k \;\sim\; \frac{\omega_0}{2\pi}\,\exp\!\Big(-\frac{\Delta U}{\sigma^2}\Big),$$

con $\Delta U$ la barrera efectiva y $\sigma^2$ la intensidad de ruido. En dimensiones altas, fórmulas tipo Eyring–Kramers generalizan con curvaturas en el punto silla.

Normalización y grupos adimensionales

Una no dimensionalización clarifica parámetros de control. Sea $x=L \tilde{x}$, $t=T \tilde{t}$, $u=U_0 \tilde{u}$. Para

$$\partial_t u = -\nabla\cdot(\mathsf{F}u)+D\Delta u + \mathsf{R}(u)+\epsilon \cos(\Omega t),$$

emergen números tipo:

• Péclet $\mathrm{Pe}:= \dfrac{FL}{D}$ (transporte vs difusión).

• Damköhler $\mathrm{Da}:= \dfrac{T\,\|\mathsf{R}'\|}{1}$ (reacción vs transporte).

• Calidad $Q:=\dfrac{\omega_0}{2\gamma}$ (selección resonante).

• Topología efectiva $\Theta:=\kappa T \lambda_2$ (fuerza de acoplamiento normalizada a la brecha de Fiedler).

Estos grupos condensan escalas energéticas, umbrales de resonancia y frecuencias críticas en valores comparables entre dominios.

Conservación, entropía e información

En EMU-campo, la conservación de cantidades $\mathcal{Q}[u]=\int q(u)\,dx$ sigue de simetrías de $\mathsf{F}$ (Noether en formulaciones hamiltonianas). Para densidades $\rho$,

$$\mathcal{H}[\rho] := \int \rho \log \rho\, d\mu,$$

obedece $\dot{\mathcal{H}}\le 0$ bajo FP con $B>0$ y condiciones de contorno adecuadas (contracción entrópica). En presencia de forzamientos no equilibrados, la tasa de producción de entropía $\sigma$ se obtiene por corrientes y fuerzas termodinámicas (teoría lineal y más allá). Estos principios establecen flechas de tiempo y restringen admisibilidad de cierres y simplificaciones.

Conexión con atractores y bifurcaciones

La variedad atractora $\mathcal{A}$ de EMU —con los términos disipativos positivos— es compacta bajo hipótesis estándar, y su estructura (puntos fijos, ciclos límite, toroides invariante, atractores extraños) emerge de:

• Bifurcaciones locales (saddle–node, pitchfork, Hopf) controladas por parámetros $\theta$.

• Bifurcaciones globales (homoclínicas/heteroclínicas) que reconfiguran tránsito entre pozos.

• Acoplamiento en red que reescala umbrales y puede inducir sincronía/desincronía.

Las ecuaciones de amplitud (§2.9–§2.10) proporcionan una dinámica efectiva sobre $\mathcal{A}$, útil para predicciones cuantitativas de frecuencia/umbral en vecindad crítica.

Derivaciones selectas (detalle técnico)

(A) De la ecuación maestra discreta a Fokker–Planck.
Considérese un proceso de salto en $\mathbb{R}^d$ con incrementos $\Delta x$ y tasa $w(x;\Delta x)$. La ecuación maestra integral es

$$\partial_t \rho(x,t) = \int \big[ w(x-\Delta x;\Delta x)\,\rho(x-\Delta x,t) - w(x;\Delta x)\,\rho(x,t) \big]\, d(\Delta x).$$

Expandiendo $\rho(x-\Delta x,t)$ y $w(x-\Delta x;\Delta x)$ en series de Taylor y reteniendo hasta segundo orden (hipótesis de saltos pequeños),

$$\partial_t \rho = -\sum_i \partial_{x_i}\!\left( a_i(x)\,\rho \right) + \frac{1}{2}\sum_{i,j}\partial_{x_i}\partial_{x_j}\!\left( b_{ij}(x)\,\rho \right),$$

con

$$a_i(x)=\int \Delta x_i\, w(x;\Delta x)\, d(\Delta x),\qquad b_{ij}(x)=\int \Delta x_i \Delta x_j\, w(x;\Delta x)\, d(\Delta x).$$

Esto reproduce Fokker–Planck con $A=a$, $B=b$.

(B) Reducción de amplitud por múltiples escalas.
Considérese

$$\ddot{u} + 2\gamma \dot{u} + \omega_0^2 u + \alpha u^3 = \epsilon \cos(\omega t).$$

Introducimos escalas $T_0=t$, $T_1=\epsilon t$ y ansatz $u(t)=A(T_1)e^{i\omega_0 T_0} + \bar{A}(T_1)e^{-i\omega_0 T_0}+ \epsilon u_1 + \cdots$. Al imponer ausencia de términos seculares aparece

$$\frac{dA}{dT_1} = -\gamma A + \frac{i}{2\omega_0}\,\epsilon\,\frac{1}{2}e^{i\Delta t} - i\frac{3\alpha}{2\omega_0}\,|A|^2 A,$$

con $\Delta=\omega-\omega_0$. Reescalando $A$ y separando magnitud/fase se llega a Landau–Stuart con parámetros explícitos, fijando curvas de respuesta, ancho de resonancia y saltos de histéresis ($\alpha>0$, no linealidad endurecedora).

(C) Umbral de sincronización en redes difusivas.
Para $\dot{y}_i = f(y_i) - \kappa \sum_j \mathcal{L}_{ij} H(y_j)$, linealizando alrededor del sincronismo $y_i=y^\star$, $\delta \dot{y} = \left[Df(y^\star) - \kappa \lambda_k\, DH(y^\star)\right]\delta y$ en el modo $k$ del Laplaciano. La condición de estabilidad es

$$\max_k \Re \,\sigma\!\left(Df(y^\star) - \kappa \lambda_k\, DH(y^\star)\right) < 0,$$

lo que da el umbral crítico $\kappa_c$ en función de $\lambda_2$ (el menor positivo), explicitando el rol de la topología.

Cierre y puente hacia las predicciones cuantitativas

Hemos establecido una ecuación maestra unificada (EMU) capaz de representar transporte, difusión, reacción, acoplamiento en redes y forzamientos externos, dentro de un marco compatible con GENERIC y operadores de transferencia. Se han mostrado derivaciones explícitas (discreto→difusivo; reducción de amplitud; umbrales en red) y un catálogo de simplificaciones con validez controlada (determinista medio, adiabático, lineal, homogenización, modos críticos, escape raro). Este andamiaje nutre, de forma directa, el cálculo de frecuencias críticas, escalas energéticas, umbrales de resonancia y criterios de sincronización/desacoplo, que abordaremos operativamente en la sección de simplificaciones y casos límite avanzados, conectando con dinámica no lineal y atractores.

Simplificaciones del Formalismo

El sistema general de ecuaciones obtenido:

$$\begin{cases} \nabla \cdot \mathbf{E} = \dfrac{\rho_{\text{eff}}}{\varepsilon_0} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}_{\text{eff}} + \mu_0 \varepsilon_0 \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \\ \rho_{\text{eff}} = \rho_m + \alpha \rho_\phi \\ \mathbf{J}_{\text{eff}} = \mathbf{J}_m + \beta \mathbf{J}_\phi \\ \rho c_p \dfrac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot (k \nabla T) + Q_{\text{ohm}} + Q_{\text{res}} \\ \dfrac{d}{dt}\Big( \tfrac{1}{2} m r^2 \dot{\phi}^2 \Big) = - \gamma \dot{\phi} + \tau_{\text{EM}}(t) \end{cases}$$

abarca dinámica electromagnética + acoplamiento térmico + mecánica rotacional.
Ahora reducimos gradualmente hacia estructuras tratables y predicciones cuantitativas.

Aproximación toroidal (simetría axial)

Dado que el METFI plantea campos confinados en toroides internos, adoptamos coordenadas cilíndricas $(r,\phi,z)$ y aplicamos:

• Simetría azimutal ($\partial / \partial \phi = 0$).

• Homogeneidad en la dirección axial a primer orden ($\partial / \partial z \approx 0$).

Así, los campos se reducen a:

$$\mathbf{E}(r,t) = E_\phi(r,t)\,\hat{\phi}, \quad \mathbf{B}(r,t) = B_z(r,t)\,\hat{z} + B_r(r,t)\,\hat{r}.$$

Esto transforma las ecuaciones de Maxwell en:

$$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left( r E_\phi \right) = - \frac{\partial B_z}{\partial t},$$ $$\frac{\partial B_r}{\partial r} + \frac{B_r}{r} = 0 \quad \Rightarrow \quad B_r(r,t) \sim \frac{1}{r}.$$

El campo magnético toroidal se conserva en forma radial decreciente, rasgo consistente con confinamiento tipo plasma.

Simplificación de la corriente efectiva

Definimos:

$$\mathbf{J}_{\text{eff}}(r,t) = \sigma_{\text{eff}}(T) \, E_\phi(r,t)\,\hat{\phi},$$

con

$$\sigma_{\text{eff}}(T) = \sigma_m + \beta \sigma_\phi f(T).$$

El término $f(T)$ modela una activación térmica (ley de Arrhenius o función sigmoide).
El calor ohmico se simplifica a:

$$Q_{\text{ohm}} = \sigma_{\text{eff}}(T) \, E_\phi^2.$$

Reducción de la ecuación térmica

Suponemos un régimen cuasi-estacionario con transporte radial:

$$\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left( r k \frac{\partial T}{\partial r} \right) + \sigma_{\text{eff}}(T) E_\phi^2.$$

Este PDE define un problema acoplado no lineal: la conductividad depende de $T$, y $T$ a su vez depende de la disipación de Joule.
En términos de estabilidad, se asimila a un modelo de ignición térmica (Frank-Kamenetskii), con umbrales críticos de retroalimentación.

Dinámica rotacional simplificada

La ecuación mecánica:

$$I \ddot{\phi} + \gamma \dot{\phi} = \tau_{\text{EM}}(t),$$

donde $I = \tfrac{1}{2} m r^2$.
Si tomamos $\tau_{\text{EM}}(t) \sim \int r J_\phi B_z \, dr$, y con las aproximaciones toroidales:

$$\tau_{\text{EM}} \sim \sigma_{\text{eff}}(T) \, E_\phi \, B_z \, r^2.$$

Esto conecta directamente la aceleración angular con los campos electromagnéticos y el estado térmico.

Ecuaciones maestras simplificadas

El sistema reducido queda en forma compacta:

$$\begin{cases} \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r E_\phi) = - \frac{\partial B_z}{\partial t} \\ \frac{\partial B_r}{\partial r} + \frac{B_r}{r} = 0 \\ \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left( r k \frac{\partial T}{\partial r} \right) + \sigma_{\text{eff}}(T) E_\phi^2 \\ I \ddot{\phi} + \gamma \dot{\phi} = \sigma_{\text{eff}}(T) E_\phi B_z r^2 \end{cases}$$

con

$$\sigma_{\text{eff}}(T) = \sigma_m + \beta \sigma_\phi f(T).$$

Identificación de escalas críticas

• Frecuencia de resonancia electromagnética (modo toroidal):

$$\omega_c \sim \frac{c}{r}.$$

• Escala de tiempo térmica:

$$\tau_T \sim \frac{\rho c_p r^2}{k}.$$

• Número adimensional de retroalimentación (análog. Rayleigh o Frank-Kamenetskii):

$$\Lambda = \frac{\sigma_{\text{eff}} E_\phi^2 r^2}{k \Delta T}.$$

El umbral de inestabilidad ocurre para $\Lambda > \Lambda_c \sim O(1)$.

Esto traduce la complejidad del formalismo en criterios cuantitativos de transición: desde estado estable hasta runaway térmico-mecánico.

Parámetros, constantes y notación (valores base usados)

Constantes físicas usadas:

• velocidad de la luz: $c = 2.99792458\times10^{8}\ \mathrm{m/s}$.

• constante de Boltzmann y otras no son necesarias en las cifras abajo; si se requieren, las incluyo.

Parámetros de material (valores de referencia, se harán explícitos en cada ejemplo):

• conductividad efectiva (medio geológico/roca): $\sigma = 10^{-2}\ \mathrm{S/m}$ (valor típico orden de magnitud para rocas húmedas; para metal $\sigma$ es muchos órdenes mayor).

• conductividad metálica (ejemplo): $\sigma_{\text{metal}} \sim 10^{7}\ \mathrm{S/m}$ (solo para contraste).

• conductividad térmica (roca): $k = 3\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$.

• densidad (roca): $\rho = 3.0\times10^{3}\ \mathrm{kg/m^3}$.

• capacidad calorífica: $c_p = 1.0\times10^{3}\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$.

• salto térmico representativo: $\Delta T = 100\ \mathrm{K}$ (escala de activación local).

• campo eléctrico de forzamiento nominal (ejemplo): $E_\phi = 1\ \mathrm{V/m}$ (modestísimo) — ajustar si quieres.

• campo magnético de referencia (campo terrestre): $B_z = 5\times10^{-5}\ \mathrm{T}$.

Variables geométricas:

• radio toroidal característico $r$ (m) — usamos tres casos: $r=1\ \mathrm{m}$, $r=1\times10^3\ \mathrm{m}$, $r=1\times10^6\ \mathrm{m}$.

Frecuencia de resonancia electromagnética fundamental (modo toroidal)

Aproximación usada (Sección 3.6):

$$\omega_c \sim \frac{c}{r},\qquad f_c=\frac{\omega_c}{2\pi}=\frac{c}{2\pi r}.$$

Cálculo paso a paso para cada $r$.

Caso A — laboratorio, $r=1\ \mathrm{m}$:
$\omega_c = c/r = 2.99792458\times10^{8}\,/1 = 2.99792458\times10^{8}\ \mathrm{s^{-1}}$.
Frecuencia:

$$f_c=\frac{\omega_c}{2\pi}=\frac{2.99792458\times10^{8}}{2\pi}.$$

Dividimos: $2\pi \approx 6.283185307$.
$f_c \approx 2.99792458\times10^{8} / 6.283185307 \approx 4.77464829\times10^{7}\ \mathrm{Hz}$.
-> $f_c \approx 4.77\times10^{7}\ \mathrm{Hz}$ (≈47.7 MHz).

Caso B — regional, $r=1\times10^{3}\ \mathrm{m}$:
$\omega_c = 2.99792458\times10^{8} / 10^{3} = 2.99792458\times10^{5}\ \mathrm{s^{-1}}$.
$f_c = 2.99792458\times10^{5}/(2\pi) \approx 4.77464829\times10^{4}\ \mathrm{Hz}$.
-> $f_c \approx 4.77\times10^{4}\ \mathrm{Hz}$ (≈47.7 kHz).

Caso C — planetario, $r=1\times10^{6}\ \mathrm{m}$:
$\omega_c = 2.99792458\times10^{8}/10^{6} = 2.99792458\times10^{2}\ \mathrm{s^{-1}}$.
$f_c = 2.99792458\times10^{2}/(2\pi) \approx 4.77464829\times10^{1}\ \mathrm{Hz}$.
-> $f_c \approx 4.77\times10^{1}\ \mathrm{Hz}$ (≈47.7 Hz).

Interpretación: la frecuencia fundamental escala como $1/r$; pasar de mm→m→km→Mm baja la frecuencia por factores de mil. Las resonancias observables en medios reales sufrirán desplazamientos por propiedades del medio (permittividad, permeabilidad, geometría) y amortiguamiento (Q).

Escala de tiempo térmica (tiempo de difusión térmica radial)

Usamos la escala:

$$\tau_T \sim \frac{\rho c_p r^2}{k}.$$

Cálculo numérico.

Valores base: $\rho c_p = 3.0\times10^{3}\cdot 1.0\times10^{3}=3.0\times10^{6}\ \mathrm{J/(m^3\cdot K)}$.

Caso A — $r=1\ \mathrm{m}$:

$$\tau_T = \frac{3.0\times10^{6}\cdot (1)^2}{3} = \frac{3.0\times10^{6}}{3} = 1.0\times10^{6}\ \mathrm{s}.$$

Convertimos a horas/días: $1.0\times10^{6}\ \mathrm{s} \approx 11.574\ \mathrm{days}$ (porque $1\ \text{day}=86400\ \mathrm{s}$; $1e6/86400\approx11.574$).
-> $\tau_T \approx 1.0\times10^{6}\ \mathrm{s}$ ≈ 11.6 días.

Caso B — $r=1\times10^{3}\ \mathrm{m}$:

$$\tau_T = \frac{3.0\times10^{6}\cdot (10^{3})^{2}}{3} = \frac{3.0\times10^{6}\cdot 10^{6}}{3} = \frac{3.0\times10^{12}}{3} = 1.0\times10^{12}\ \mathrm{s}.$$

Convertimos a años: $1\ \mathrm{year}\approx 3.1536\times10^{7}\ \mathrm{s}$.
$1.0\times10^{12}/3.1536\times10^{7}\approx 31{,}709\ \mathrm{years}$ (aprox).
-> $\tau_T \approx 1.0\times10^{12}\ \mathrm{s}$ ≈ 3.17×10^4 años.

Caso C — $r=1\times10^{6}\ \mathrm{m}$:

$$\tau_T = \frac{3.0\times10^{6}\cdot (10^{6})^{2}}{3} = \frac{3.0\times10^{6}\cdot 10^{12}}{3} = \frac{3.0\times10^{18}}{3} = 1.0\times10^{18}\ \mathrm{s}.$$

Años: $1.0\times10^{18}/3.1536\times10^{7}\approx 3.17\times10^{10}\ \mathrm{años}$.
-> $\tau_T \approx 1.0\times10^{18}\ \mathrm{s}$ ≈ 3.17×10^10 años (mucho mayor que la edad del sistema solar — indica que la difusión térmica a escala planetaria con los parámetros asumidos es efectivamente extremadamente lenta; por eso en geodinámica operan otros mecanismos convectivos que reducen la escala temporal efectiva).

Interpretación: la dependencia $r^2$ hace que la difusión térmica a escala kilómetro o mayor sea extremadamente lenta si solo actúa conducción; convección, fracturación, o conductividades distintas (p. ej. canales metálicos) pueden acortar drásticamente $\tau_T$.

Número adimensional de retroalimentación térmica (análoga a Frank–Kamenetskii / Rayleigh local)

Definimos, como en la Sección 3.6:

$$\Lambda := \frac{\sigma_{\text{eff}} E_\phi^2 r^2}{k\,\Delta T}.$$

Cuando $\Lambda\gtrsim \Lambda_c\sim O(1)$, la retroalimentación Joule→aumento de $\sigma$→más Joule puede conducir a runaway térmico.

Con parámetros base: $\sigma=10^{-2}\ \mathrm{S/m}$, $E_\phi=1\ \mathrm{V/m}$, $k=3$, $\Delta T=100$.

Calculo del prefactor:

$$\frac{\sigma E^2}{k\Delta T} = \frac{10^{-2}\cdot 1^2}{3\cdot 100} = \frac{10^{-2}}{300} = 3.3333333\times10^{-5}.$$

Por tanto $\Lambda = 3.3333333\times10^{-5}\, r^2$ (r en metros).

Caso A — $r=1\ \mathrm{m}$: $\Lambda = 3.3333\times10^{-5}\cdot 1^2 = 3.33\times10^{-5}\ll 1$. No runaway.

Caso B — $r=1\times10^{3}\ \mathrm{m}$: $\Lambda = 3.3333\times10^{-5}\cdot 10^{6} = 33.3333$. -> $\Lambda \approx 33$ (muy por encima de 1): régimen de fuerte retroalimentación térmica posible con estos parámetros.

Caso C — $r=1\times10^{6}\ \mathrm{m}$: $\Lambda = 3.3333\times10^{-5}\cdot 10^{12} = 3.3333\times10^{7}$. -> $\Lambda \gg 1$.

Caveat: estos números muestran que para campos eléctricos pequeños (1 V/m) y conductividad baja (10⁻² S/m), la dependencia $r^2$ puede llevar a $\Lambda$ grande a gran escala. Sin embargo, la suposición de campo eléctrico uniforme $E_\phi$ sobre todo un radio $r$ es idealizada; en la práctica E varía con geometría y pérdidas. Además, conductividades efectivas a gran escala suelen ser mucho menores o heterogéneas; la presencia de disipación y rutas convectivas cambia el umbral. Estas estimaciones sirven para orientar la escala de parámetros donde la retroalimentación térmica puede dominar.

Par de fuerzas electromecánico y aceleración angular

Aproximación (Sección 3.4):

$$\tau_{\text{EM}} \sim \sigma_{\text{eff}}\, E_\phi\, B_z\, r^{2}.$$

Momento de inercia aproximado de un toroide simplificado (masa $M$ concentrada a radio $r$):

$$I \sim \tfrac{1}{2} M r^2.$$

Aceleración angular aproximada:

$$\alpha \sim \frac{\tau_{\text{EM}}}{I} \sim \frac{2 \sigma_{\text{eff}} E_\phi B_z r^{2}}{M r^{2}} = \frac{2 \sigma_{\text{eff}} E_\phi B_z}{M}.$$

Observa que $r^2$ se cancela en este simple modelo: la aceleración depende fuertemente de la masa efectiva $M$, no del radio si la masa escala como $M\sim \rho V$ con volumen proporcional a $r^2$ en este simplificado.

Ejemplo numérico (regional): $r=10^{3}\ \mathrm{m}$, $\sigma=10^{-2}$, $E=1\ \mathrm{V/m}$, $B=5\times10^{-5}\ \mathrm{T}$. Supongamos masa efectiva del toroide $M=10^{9}\ \mathrm{kg}$ (orden de magnitud supuesto: ~un millón de toneladas).

Calculemos $\tau_{\text{EM}}$:

$$\tau_{\text{EM}} = \sigma E B r^2 = 10^{-2}\cdot 1 \cdot 5\times10^{-5}\cdot (10^{3})^{2}.$$

Paso a paso: $(10^{3})^{2}=10^{6}$. Multiplicamos los factores:

$$10^{-2}\cdot 5\times10^{-5} = 5\times10^{-7}.$$

Luego $5\times10^{-7}\cdot 10^{6} = 5\times10^{-1} = 0.5\ \mathrm{N\cdot m}$.
-> $\tau_{\text{EM}}\approx 0.5\ \mathrm{N\cdot m}$.

Momento de inercia $I\approx \tfrac{1}{2} M r^{2} = 0.5\cdot 10^{9}\cdot 10^{6} = 0.5\times10^{15} = 5.0\times10^{14}\ \mathrm{kg\cdot m^2}$.

Aceleración:

$$\alpha = \tau/I \approx 0.5 / (5.0\times10^{14}) = 1.0\times10^{-15}\ \mathrm{rad/s^2}.$$

-> $\alpha\approx 1\times10^{-15}\ \mathrm{rad/s^2}$ (extremadamente pequeña).

Interpretación: con masas geológicas grandes, incluso pares aparentemente “moderados” producen aceleraciones insignificantes; para obtener rotaciones apreciables se requieren pares muchísimo mayores o masas mucho menores (canales conductores locales).

Tasas de escape entre atractores (Kramers) — tasa de transición por fluctuaciones

Si modelamos transiciones entre estados (p. ej. dos configuraciones estables del campo térmico) con barrera efectiva $\Delta U$ y ruido (intensidad $\sigma_n^2$), la tasa aproximada (1D, Kramers) es

$$k \sim \frac{\omega_0}{2\pi} \exp\!\Big(-\frac{\Delta U}{\sigma_n^2}\Big).$$

Esta fórmula destaca la dependencia exponencial con la relación barrera/ruido. Con $\Delta U$ grande y ruido pequeño, las tasas son efectivamente nulas; en presencia de forzamiento resonante que reduce $\Delta U$ o aumenta $\sigma_n$, la tasa crece exponencialmente.

Ejemplo ilustrativo: si $\omega_0/(2\pi)=10\ \mathrm{Hz}$, $\Delta U/\sigma_n^2=20$, entonces $k\sim 10\cdot e^{-20}\approx 10\cdot 2.06\times10^{-9}=2.06\times10^{-8}\ \mathrm{s^{-1}}$ (tiempo medio $\sim 4.8\times10^{7}\ \mathrm{s}\approx 1.5$ años). Cambiar $\Delta U/\sigma_n^2$ a 10 reduce el exponente a $e^{-10}\sim4.54\times10^{-5}$, aumentando mucho $k$.

Umbral de sincronización en redes (recordatorio cuantitativo)

Del resultado (Sección 2.10 / 2.14) para red con Laplaciano $\mathcal{L}$ y acoplamiento $\kappa$:

$$\kappa_c \approx \frac{\max \Re \sigma\!\big(Df(y^\star)\big)}{\lambda_2},$$

donde $\lambda_2$ es la brecha de Fiedler del grafo. Esto permite traducir propiedades topológicas (conectividad) en umbrales operativos de acoplamiento. En redes poco conectadas $\lambda_2$ pequeño → $\kappa_c$ grande (difícil sincronizar); redes densas facilitan sincronización con acoplamientos débiles.

Resumen numérico rápido (tabla mental)

• Frecuencias fundamentales (para $c=2.998\times10^{8}\ \mathrm{m/s}$):

  • $r=1\ \mathrm{m}$: $f_c\approx 4.77\times10^{7}\ \mathrm{Hz}$ (47.7 MHz).

  • $r=10^{3}\ \mathrm{m}$: $f_c\approx 4.77\times10^{4}\ \mathrm{Hz}$ (47.7 kHz).

  • $r=10^{6}\ \mathrm{m}$: $f_c\approx 4.77\times10^{1}\ \mathrm{Hz}$ (47.7 Hz).

• Tiempos térmicos ($\tau_T=\rho c_p r^2/k$, con $\rho c_p=3.0\times10^6$, $k=3$):

  • $r=1\ \mathrm{m}$: $\tau_T\approx 1.0\times10^{6}\ \mathrm{s}$ ≈ 11.6 días.

  • $r=10^{3}\ \mathrm{m}$: $\tau_T\approx 1.0\times10^{12}\ \mathrm{s}$ ≈ 3.17×10^4 años.

  • $r=10^{6}\ \mathrm{m}$: $\tau_T\approx 1.0\times10^{18}\ \mathrm{s}$ ≈ 3.17×10^{10} años.

• Retroalimentación térmica ($\Lambda$):

  • Prefactor $=3.3333\times10^{-5}\cdot r^2$.

  • $\Lambda(r=10^{3}\,\mathrm{m})\approx 33.3$ → régimen potencial de runaway con las hipótesis hechas.

• Par y aceleración (ejemplo regional, $M=10^{9}\ \mathrm{kg}$):

  • $\tau_{\text{EM}}\approx 0.5\ \mathrm{N\cdot m}$.

  • $\alpha \approx 1.0\times10^{-15}\ \mathrm{rad/s^2}$ (prácticamente nulo).

Observaciones críticas y limitaciones

1. Dependencia geométrica fuerte. Muchas magnitudes escalan como $r$, $r^2$ o $1/r$; por tanto la elección de la escala cambia radicalmente la dinámica.

2. Heterogeneidad real. Las conductividades, campos y geometrías reales son no uniformes; las cifras anteriores son estimaciones de orden de magnitud bajo hipótesis homogéneas.

3. Mecanismos convectivos y fracturación. A escala geodinámica la convección, fisuración y canales de alta conductividad alteran $\tau_T$ y $\Lambda$.

4. Amortiguamiento/Q. El factor de calidad $Q=\omega_0/2\gamma$ controla si una resonancia es observable; sin conocer $\gamma$ no podemos predecir picos finos de respuesta.

5. No se han usado datos clasificados ni fuentes con conflicto de interés; las referencias listadas abajo son monografías clásicas y trabajos fundacionales.

Resumen 

• La frecuencia de resonancia fundamental escala inversamente con el radio: $f_c\approx c/(2\pi r)$.

• La difusión térmica conductiva escala como $r^2$; a escala kilómetro el tiempo térmico es del orden de 10⁴ años bajo conducción pura.

• Un número adimensional de retroalimentación $\Lambda=\dfrac{\sigma E^2 r^2}{k\Delta T}$ permite estimar umbrales de runaway: con valores moderados de $E$ y $\sigma$, $\Lambda$ crece rápidamente con $r$ y puede superar 1 a escalas regionales.

• Pares electromecánicos estimados con conductividades bajas y campos modestos producen momentos pequeños; la aceleración angular resultante es despreciable para masas geológicas grandes.

• La tasa de escape entre atractores depende exponencialmente de la relación barrera/ruido (Kramers); reducir barreras por resonancia puede incrementar dramáticamente las tasas de transición.

• En redes, la brecha de Fiedler $\lambda_2$ convierte topología en umbral de sincronización $\kappa_c$.

• Todas las predicciones dependen críticamente de heterogeneidades locales, vías convectivas y amortiguamiento; éstas deben tratarse caso a caso para pasar de estimaciones a pronósticos.

Referencias 

1. L. D. Landau & E. M. Lifshitz — Electrodinámica de los cuerpos continuos (capítulos relevantes).
   Resumen: Formulación clásica de Maxwell en medios continuos, límites hidromagnéticos y condiciones de contorno; útil para derivar reducciones toroidales y relaciones constitutivas.

2. A. N. Tikhonov; N. Fenichel — teoría de eliminación adiabática / variedades lentas.
   Resumen: Métodos para separar variables rápidas y lentas, justificar reducciones de dimensión y la eliminación adiabática usada en la sección de modos lentos.

3. V. I. Kramers — Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions (1940).
   Resumen: Fórmulas para tasas de escape sobre barreras en presencia de ruido; base para estimaciones de transiciones raras.

4. B. M. Frank-Kamenetskii — Diffusion and Heat Transfer in Chemical Kinetics.
   Resumen: Formalismo de ignición térmica y número adimensional de retroalimentación térmica; base para $\Lambda$ y umbrales de runaway.

5. H. Haken — Synergetics: An Introduction.
   Resumen: Enfoque de modos coherentes y reducción a ecuaciones de amplitud (Landau–Stuart), soporte teórico para la extracción de frecuencias críticas y dinámica de atractores.

6. E. Ott — Chaos in Dynamical Systems (o similar sobre sincronización y redes).
   Resumen: Teoría de sincronización, rol del espectro de Laplaciano y condiciones para estabilidad del sincronismo.

Conexión con dinámica no lineal y atractores

De la EMU a formas normales: proyección sobre modos críticos

Partimos de la EMU-campo reducido (Sección 2 / 3), y su versión modal cerca de una bifurcación. Sea $u(x,t)$ expandible en modos $\{\phi_k(x)\}$ del operador linealizado $\mathcal{L}_0$:

$$u(x,t) = \sum_k A_k(t)\,\phi_k(x) + \text{transientes}.$$

Proyectando la EMU sobre el espacio generado por los modos críticos $\{ \phi_{c} \}$ mediante el producto interno $\langle\cdot,\cdot\rangle$, obtenemos ecuaciones de amplitud generales:

$$\dot{A}_k = \lambda_k(\theta)\,A_k + \sum_{m,n} \alpha_{kmn}\, A_m A_n + \sum_{m,n,p}\beta_{kmnp}\,A_m A_n A_p + F_k(t) + \xi_k(t),$$

donde $\lambda_k(\theta)$ son los exponentes lineales dependientes de parámetros de control $\theta$ (p. ej. $\Lambda,\mathrm{Pe},\mathrm{Da},\Theta,Q,\kappa$). Para casos típicos:

• Hopf: un par complejo cruza el eje imaginario → forma normal (Landau–Stuart)

  $$\dot{A} = (\mu + i \omega_0)A - (c_r + i c_i)|A|^2 A + \mathcal{O}(|A|^5).$$

  Con $\mu$ controlado por, p. ej., $\Lambda-\Lambda_c$ o por forzamiento paramétrico.

• Turing/pitchfork: modos reales instabilizan → patrones estacionarios; ecuación de amplitud con cúbica real.

Estas formas normales permiten predecir zonas de existencia de ciclos límite, toroides y transiciones a caos por interacción modal.

Medidas de estabilidad: espectro de Lyapunov y radios de atracción

Para un sistema reducido de dimensión $n$: $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{F}(\mathbf{x};\theta)$, defino:

• Espectro de Lyapunov $\{\Lambda_i\}_{i=1}^n$ (ordenados $\Lambda_1\ge\Lambda_2\ge\ldots$). El sistema es caótico si $\Lambda_1>0$.

• Tasa de contracción promedio: $\sum_i \Lambda_i$ (negativa en sistemas disipa-tivos dominantes).

• Exponente de Kolmogorov–Sinai $h_{KS}\approx \sum_{\Lambda_i>0}\Lambda_i$ — medida de complejidad dinámica.

Cálculo práctico: numericamente integrar la ecuación variacional asociada y aplicar método de Benettin/Gram–Schmidt para obtener $\Lambda_i$. Para la EMU reducida, se recomienda computar espectro local en variedades críticas extraídas (p. ej. alrededor de ciclo límite previsto por Landau–Stuart con parámetros estimados).

Interconexión con predicciones previas: la pérdida de estabilidad lineal (Re$\lambda_k$ cambia de negativo a positivo) ocurre cuando parámetros como $\Lambda$ cruzan umbrales. Por ejemplo, si $\Lambda(r=10^3)\approx 33$ >> $\Lambda_c$, el modo térmico puede hacer $\Re\lambda_{\text{term}}$ positivo, implicando $\Lambda_1>0$ tras acoplamiento no lineal.

Bifurcaciones relevantes y rutas a caos

Con parámetros controlados ($\mu$ que sintetiza $\Lambda,\kappa,Q,\ldots$) identificamos rutas típicas:

1. Hopf supercrítico/subcrítico → aparición de ciclo límite estable/inestable. Subcrítico puede dar lugar a bistabilidad y saltos abruptos (hysteresis).

2. Period-doubling cascade (Feigenbaum) → sucesivas bifurcaciones que conducen a atractor extraño.

3. Interacción de modos (resonancia 1:2, 1:3) → tori invariante que rompimiento por resonancias conduce a caos.

4. Crisis globales (attractor crisis): colapso súbito del atractor debido a colisión con punto silla en presencia de forzamiento. La aproximación de Melnikov permite estimar la distancia crítica para homoclinic splitting bajo forzamiento periódico.

Melnikov (criterio breve)

Para un Hamiltoniano perturbado $H_0$ con perturbación periódica $\epsilon H_1(x,t)$, la función de Melnikov

$$M(t_0) = \int_{-\infty}^{\infty} \{H_0,H_1\}(x_h(t-t_0),t)\,dt$$

valora ceros simples como indicadores de intersección transversal de variedades invarian-tes (suficiente para caos). En nuestro caso, $H_0$ puede modelar la parte reversible (electromagnética) y $H_1$ la disipación/forzamiento térmico periódico; calcular $M$ con los perfiles modalizados permite estimar umbrales $\epsilon_c$ de aparición de caos global.

Basin stability y multiescalaridad: medida de robustez de atractores

La estabilidad del cuenco de atracción (basin stability) se define como la probabilidad, frente a una distribución de perturbaciones iniciales $\mathcal{P}_0$, de regresar al atractor $A$:

$$S_A = \int \mathbf{1}_{\{\phi_t(x)\to A\}}\, d\mathcal{P}_0(x).$$

Es numéricamente estimable por muestreo Monte-Carlo. Aplicación práctica: ante múltiples atractores (p. ej. estado estable térmico vs estado runaway), calcular $S_A$ para cada atractor cuantifica resiliencia y probabilidad de transiciones indu-cidas por perturbaciones finitas (no solo pequeñas).

Ruido, resonancia estocástica y ruido-inducido de transiciones

Dos efectos claves:

• Resonancia estocástica: la combinación de forzamiento periódico débil y ruido óptimo puede maximizar la tasa de salida sobre barrera — útil para explicar aumentos de tasa de eventos en presencia de ruido ambiental. Mide-se por $k(\sigma_n)$ (Kramers) que exhibe máximo en $\sigma_n$ particular cuando la forzamiento es subcrítico.

• Noise-induced tipping: ruido puede romper la invarianza de variedades lentas y precipitar saltos a otro atractor sin que parámetros crucen su bifurcación determinista; esto ocurre cuando la probabilidad de cruzar la barrera supera 1 en escalas temporales relevantes.

Indicadores tempranos cuantificables (seguimiento)

Derivando de la teoría de critical slowing down y del espectro lineal, propongo métricas observables (aplicables al output de sensores o a variables modales):

1. Aumento de la autocorrelación lag-1 $AC(1)$ en la serie temporal de una amplitud $A(t)$ → evidencia de ralentización.

2. Crecimiento de la varianza $\mathrm{Var}[A(t)]$ → precursor de pérdida de estabilidad.

3. Aumento de la asimetría (skewness) y curtosis → señales de no-gaussianidad asociadas a aproximación a frontera de cuencas.

4. Cambio en espectro de Lyapunov finito-tiempo (FTLE) → $\Lambda_1^{(T)}(t)$ positivo y en aumento indica acercamiento a dinámica sensible.

5. Reducción de gap de Fiedler efectiva en subredes = aumento en susceptibilidad a sincronización y cascadas.

Estas métricas sirven para seguimiento cuantitativo y pueden calibrarse en simulaciones del EMU reducido antes de interpretación en datos reales.

Conexión con umbrales y predicciones previas

Relaciono parámetros cuantitativos definidos en Sección 4 con propiedades dinámicas:

• Si $\Lambda$ supera $\Lambda_c$, entonces $\Re\lambda_{\text{term}}>0$ → posible Hopf o saddle–node dependiente de la forma de $\mathsf{R}$.

• Valores grandes de $Q$ (alta calidad) facilitan resonancias nítidas; si $Q\gg1$ y forzamiento $\omega\approx\omega_0$, reducción a Landau–Stuart con $\mu$ positivo puede producir oscilaciones auto-sostenidas.

• Para redes, $\kappa>\kappa_c$ con $\lambda_2$ pequeña induce sincronía; sincronización masiva puede transformar dinámicas locales en una bifurcación global (efecto de colectivización).

Estrategias de análisis numérico y verificación

Sugerencias prácticas para validar y explorar dinámicas:

1. Calibrar modos críticos: resolver problema propio de $\mathcal{L}_0$ para obtener $\phi_k,\lambda_k$.

2. Integrar el sistema reducido (ecuaciones de amplitud) y calcular espectro de Lyapunov por Benettin.

3. Mapear diagrama de bifurcación variando $\Lambda$ y $\kappa$ (y, en segundo plano, $E,B,\sigma$).

4. Estimar basin stability por muestreo Monte-Carlo y mapear fractalidad de fronteras de cuencas.

5. Probar Melnikov para estimar $\epsilon_c$ si hay forzamiento periódico concreto.

6. Generar series sintéticas con ruido para calcular indicadores de seguimiento (AC(1), varianza, FTLE) y validar sensibilidad.

Resumen

• La proyección modal de la EMU conduce a ecuaciones de amplitud (formas normales) que explicitan bifurcaciones (Hopf, Turing, pitchfork).

• El espectro de Lyapunov y FTLE son las medidas primarias para distinguir orden, oscilaciones y caos en el modelo reducido.

• Melnikov y métodos de homoclínica estiman umbrales globales para aparición de caos por forzamiento periódico.

• Basin stability cuantifica la robustez de atractores frente a perturbaciones finitas; esencial en presencia de multiestabilidad térmica/mecánica.

• El ruido puede tanto inducir transiciones como amplificar respuestas (resonancia estocástica); la tasa de Kramers controla escalas temporales de saltos.

• Indicadores de seguimiento prácticos: autocorrelación lag-1, varianza, skewness, FTLE y brecha de Fiedler efectiva.

• Las predicciones cuantitativas previas (frecuencias $f_c$, $\tau_T$, $\Lambda$) se insertan de forma directa como parámetros de control en los análisis de bifurcación y en la estimación de $\lambda_k(\theta)$.

Referencias

• Guckenheimer, Holmes — Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Resumen: herramienta estándar para reducción a formas normales y diagramas de bifurcación.

• Wiggins — Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Resumen: teoría de variedades invariantes, Melnikov y homoclínicas.

• Ott — Chaos in Dynamical Systems. Resumen: cálculo de exponen- tes de Lyapunov y teoría de sincronización.

Planteamiento adimensional (cilindro, estado estacionario)

Partimos de la ecuación térmica estacionaria en coordenadas cilíndricas, con generación volumétrica por efecto Joule dependiente de la temperatura (modelada por una ley exponencial, Frank–Kamenetskii):

$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right) + \frac{\sigma_0 E^2}{k}\,e^{\beta (T-T_{\infty})} = 0, \qquad 0\le r \le R,$$

con condiciones regulares en $r=0$ (simetría) y contorno $T(R)=T_{\infty}$ (temperatura externa de referencia). Aquí $\beta$ proviene de la dependencia térmica de la conductividad efectiva (u otra forma de activación), y $\sigma_0E^2$ es prefactor de disipación.

Hacemos la no-dimensionalización clásica:

$$\theta := \beta (T - T_{\infty}), \qquad \rho := \frac{r}{R}.$$

Entonces $\theta(\rho)$ satisface (escribiendo $'\equiv d/d\rho$ )

$$\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\!\Big( \rho \frac{d\theta}{d\rho}\Big) + \Lambda\, e^{\theta} = 0, \qquad 0\le\rho\le1, \tag{FK}$$

con condiciones

$$\theta'(0)=0,\qquad \theta(1)=0.$$

La cantidad adimensional que regula la ignición es

$$\Lambda \;=\; \frac{\beta R^2 \sigma_0 E^2}{k}.$$

(Observación: distintas normalizaciones en la literatura definen $\Lambda$ con constantes numéricas; la forma esencial es $\propto R^2 \sigma_0 E^2/k$.)

Nuestro objetivo: hallar el valor crítico $\Lambda_c$ tal que, para $\Lambda<\Lambda_c$, existe una solución regular $\theta(\rho)$ que satisface las condiciones; para $\Lambda>\Lambda_c$ no existe solución regular física (o las soluciones divergen), indicando runaway térmico.

Expansión asintótica cerca del centro y condiciones de regularidad

Sea $\theta(0)=\theta_0$ el valor central (parámetro libre). Impongamos regularidad:

• simetría central: $\theta'(\rho)$ es par en $\rho$ y $\theta'(0)=0$.

Buscamos la serie centrada en $\rho=0$:

$$\theta(\rho)=\theta_0 + a_2 \rho^2 + a_4 \rho^4 + \mathcal{O}(\rho^6).$$

Calculemos los coeficientes. Derivadas:

$$\theta'(\rho)=2a_2\rho + 4 a_4 \rho^3 + \mathcal{O}(\rho^5), \qquad \theta''(\rho)=2a_2 + 12 a_4 \rho^2 + \mathcal{O}(\rho^4).$$

Sustituyendo en (FK):

$$\theta'' + \frac{1}{\rho}\theta' + \Lambda e^{\theta}=0.$$

Combinemos las dos primeras:

$$\theta'' + \frac{1}{\rho}\theta' = (2a_2 + 12 a_4 \rho^2) + \frac{1}{\rho}(2a_2\rho + 4 a_4 \rho^3) + \mathcal{O}(\rho^4) = 4 a_2 + 16 a_4 \rho^2 + \mathcal{O}(\rho^4).$$

Expandimos $e^\theta = e^{\theta_0}\big(1 + a_2\rho^2 + \tfrac{1}{2}a_2^2\rho^4 + a_4\rho^4 + \cdots\big)$. Igualando coeficientes por potencias de $\rho$:

• Orden $\rho^0$:

$$4 a_2 + \Lambda e^{\theta_0} = 0 \quad\Rightarrow\quad a_2 = -\frac{\Lambda e^{\theta_0}}{4}. \tag{A}$$

• Orden $\rho^2$:

$$16 a_4 + \Lambda e^{\theta_0} a_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_4 = -\frac{\Lambda e^{\theta_0} a_2}{16} = \frac{\Lambda^2 e^{2\theta_0}}{64}. \tag{B}$$

Así, cerca del centro:

$$\boxed{\theta(\rho)=\theta_0 - \frac{\Lambda e^{\theta_0}}{4}\,\rho^2 + \frac{\Lambda^2 e^{2\theta_0}}{64}\,\rho^4 + \mathcal{O}(\rho^6).}$$

Esta expansión es útil tanto para iniciar esquemas de shooting como para entender la curvatura central del perfil: la concavidad central es negativa (si $\Lambda>0$), de modo que $\theta$ decrece desde $\theta_0$ al borde.

Relación implícita $\Lambda=\Lambda(\theta_0)$ y criterio del máximo

La ecuación (FK) es un problema de valor en la frontera que puede interpretarse como problema de Cauchy con condición central $\theta(0)=\theta_0$, $\theta'(0)=0$. Para cada par $(\theta_0,\Lambda)$ existe (localmente) una solución $\theta(\rho;\theta_0,\Lambda)$; imponiendo $\theta(1)=0$ obtenemos una condición implícita:

$$F(\theta_0,\Lambda) \;:=\; \theta(1;\theta_0,\Lambda) \;=\; 0. \tag{C}$$

Para cada $\theta_0$ podemos, teóricamente, resolver numericamente en $\Lambda$ la ecuación $F(\theta_0,\Lambda)=0$ y obtener $\Lambda=\Lambda(\theta_0)$. Las ramas de soluciones corresponden a curvas $\Lambda(\theta_0)$ en el plano $(\theta_0,\Lambda)$.

Propiedad clave (turning point). La existencia de un máximo de $\Lambda(\theta_0)$ (un punto de plegado) significa que hay un valor $\theta_0^\star$ tal que

$$F(\theta_0^\star,\Lambda^\star)=0,\qquad \frac{\partial F}{\partial \theta_0}\bigg|_{(\theta_0^\star,\Lambda^\star)} = 0. \tag{D}$$

El valor crítico $\Lambda_c$ corresponde al valor máximo alcanzado por la función $\Lambda(\theta_0)$:

$$\Lambda_c \;=\; \max_{\theta_0>0} \Lambda(\theta_0).$$

Matemáticamente, (D) representa un punto de plegado (saddle-node) en la familia de soluciones; para $\Lambda>\Lambda_c$ no hay solución que satisfaga la condición de contorno, lo que interpreta ignición térmica.

Derivación del sistema para buscar el punto de plegado (condición práctica)

Derivemos las expresiones que se usan en un esquema de Newton para (C)+(D). Definimos $\theta(\rho)$ la solución del problema inicial con condiciones en $\rho=0$. Consideremos la variación de $\theta$ cuando cambiamos $\theta_0$ o $\Lambda$. Denotemos

$$u(\rho) := \frac{\partial \theta(\rho)}{\partial \theta_0}\qquad\text{y}\qquad v(\rho) := \frac{\partial \theta(\rho)}{\partial \Lambda}.$$

Diferenciando la ecuación (FK) respecto. a $\theta_0$ y a $\Lambda$ obtenemos ecuaciones lineales para $u$ y $v$.

Para $u$:

$$\mathcal{L}_\theta[u] := \frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\!\Big(\rho \frac{du}{d\rho}\Big) + \Lambda e^{\theta(\rho)} u = 0,$$

con condiciones $u(0)=1,\; u'(0)=0$ (porque $\partial\theta(0)/\partial\theta_0 =1$).

Para $v$:

$$\mathcal{L}_\theta[v] = - e^{\theta(\rho)},$$

con $v(0)=0,\; v'(0)=0$ (derivada nula en el centro respecto. a $\Lambda$ porque $\theta(0)$ no depende de $\Lambda$ cuando lo tratamos como parámetro).

La condición (D) $\partial F/\partial \theta_0=0$ se traduce en:

$$\frac{\partial}{\partial \theta_0}\theta(1;\theta_0,\Lambda) = u(1) = 0.$$

Y la condición $F(\theta_0,\Lambda)=0$ es $\theta(1)=0$. Por tanto el sistema a resolver es:

$$\begin{cases} \theta'' + \dfrac{1}{\rho}\theta' + \Lambda e^\theta = 0, & \theta'(0)=0,\; \theta(0)=\theta_0, \\ u'' + \dfrac{1}{\rho}u' + \Lambda e^\theta u = 0, & u'(0)=0,\; u(0)=1, \\ \theta(1)=0,\; u(1)=0. \end{cases} \tag{S}$$

Este es un sistema boundary-value / eigenvalue: $(\theta_0,\Lambda)$ se buscan de modo que la solución de las ecuaciones ordinarias satisfaga $\theta(1)=u(1)=0$. Es un sistema autoconsistente de dos ecuaciones para las dos incógnitas $\theta_0,\Lambda$.

(Alternativamente se puede usar la ecuación para $v$ y condiciones $v(1)=\partial_\Lambda F$ pero el par $(\theta,u)$ es más directo para el punto de plegado.)

Procedimiento numérico (pseudocódigo) para calcular $\Lambda_c$ y perfil crítico $\theta_c(\rho)$

Aunque el sistema (S) no admite solución cerrada elemental, se puede resolver numéricamente con alta precisión por métodos de shooting acoplado o por continuaciones con paquetes BVP. Doy un pseudocódigo robusto (discreto, fácil de implementar en Python/Matlab/C):

Entrada: tolerancia tol (ej. 1e-10), max_iters.
Inicializa: guess_theta0, guess_Lambda.

Loop Newton (hasta convergencia):
  1. Integrar ODE para theta(ρ) desde ρ=ρ_min (~1e-8) hasta ρ=1 con IC:
       theta(ρ_min)=theta0 + a2*ρ_min^2 (usar a2 de la expansión (A)),
       theta'(ρ_min)=2 a2 ρ_min.
     Integrador: Runge-Kutta 4/5 con paso adaptativo.

  2. Integrar ODE para u(ρ) (variational) con IC:
       u(ρ_min)=1 + b2*ρ_min^2 (coef b2 se obtiene linealizando la expansión),
       u'(ρ_min)=2 b2 ρ_min.
     (b2 puede calcularse derivando a2 respecto theta0: b2 = ∂a2/∂theta0 = - (Λ e^{θ0})/4 - (Λ e^{θ0}/4)*? -> usar forma directa mediante evaluación)

  3. Evaluar residuals:
       R1 = theta(1)      (debe ser 0)
       R2 = u(1)          (debe ser 0)

  4. Si |R1|,|R2| < tol -> convergencia. Salir.

  5. Construir Jacobiano numérico J (2x2):
       Perturbar (theta0 ± δ), integrar y obtener ∂R/∂theta0. 
       Perturbar (Lambda ± δ), integrar y obtener ∂R/∂Lambda.
     (o calcular variacionales adicionales para obtener J de forma más eficiente).

  6. Actualizar [theta0, Lambda] := [theta0, Lambda] - J^{-1} [R1,R2]^T.

Fin Loop.

Salida: Lambda_c = Lambda, perfil crítico theta_c(ρ) = theta(ρ).

Comentarios prácticos:

• Usar $\rho_{\min}\sim 10^{-8}$ evita singularidad explícita en $1/\rho$. Inicializar con la expansión en serie hasta $\rho_{\min}$ mejora estabilidad.

• Para mayor robustez hacer continuación: partir de $\Lambda$ pequeño (soluciones triviales) y aumentar $\Lambda$ hasta plegamiento, detectando cuando $u(1)$ cambia de signo; aplicar Newton refinado en ese punto.

• Alternativa: resolver directamente el BVP con método collocation (p. ej. bvp4c en Matlab o scipy.integrate.solve_bvp) imponiendo las dos condiciones finales $\theta(1)=0, u(1)=0$ y parámetros libres $\theta_0,\Lambda$.

Forma y propiedades del perfil radial crítico $\theta_c(\rho)$

Aunque el valor numérico de $\Lambda_c$ requiere el cálculo numérico anterior, las propiedades estructurales del perfil crítico son analíticas:

1. $\theta_c(\rho)$ es monótona decreciente en $\rho$ (desde $\theta_0^\star>0$ en el centro hasta 0 en la frontera), con curvatura inicial dada por (A):

$$\theta_c(\rho) = \theta_0^\star - \frac{\Lambda_c e^{\theta_0^\star}}{4}\,\rho^2 + \mathcal{O}(\rho^4).$$

2. La pendiente en el borde $\theta_c'(1)$ es negativa y no nula — de hecho ese valor de la derivada saldrá de la integración y cumple (por la ecuación) la relación integral de balance:

$$\int_0^1 \rho e^{\theta_c(\rho)}\, d\rho = -\frac{1}{\Lambda_c}\int_0^1 \frac{d}{d\rho}\!\big( \rho \theta_c'(\rho)\big)\, d\rho = -\frac{1}{\Lambda_c}\big[ \rho \theta_c'(\rho) \big]_{0}^{1} = -\frac{1}{\Lambda_c}\, \theta_c'(1).$$

(es decir $\theta_c'(1) = -\Lambda_c \int_0^1 \rho e^{\theta_c(\rho)}d\rho$).

3. La forma es suficientemente suave y sin oscilaciones para la rama fundamental (sin nodos): es el perfil más físico (perfil principal).

4. En el punto de plegado, la sensibilidad $\partial\theta(1)/\partial\theta_0 = u(1)=0$ — esto implica que una pequeña variación de $\theta_0$ no cambia la temperatura de contorno; en la curva $\Lambda(\theta_0)$ es un máximo local.

Interpretación física y escalado a variables originales

Recordemos que $\Lambda = \beta R^2 \sigma_0 E^2/k$. El resultado $\Lambda_c$ fija una combinación crítica de tamaño $R$, campo $E$, prefactor $\sigma_0$ y conductividad térmica $k$. Reescribiendo:

$$R_c \sim \sqrt{ \frac{k \Lambda_c}{\beta \sigma_0 E^2} }.$$

Es decir, para un conjunto fijo de propiedades del medio y campo aplicado, si la estructura tiene radio $R>R_c$ (o si el producto $\sigma_0 E^2$ aumenta lo suficiente), se excede $\Lambda_c$ y no existe solución estacionaria: régimen de ignición/ runaway térmico. Esto conecta directamente con tus predicciones en la Sección 4 sobre $\Lambda\propto r^2$.

Resumen — pasos concretos para obtener $\Lambda_c$ y $\theta_c(\rho)$

• formular la ecuación adimensional (FK) y condiciones: $\theta'' + (1/\rho)\theta' + \Lambda e^\theta = 0,\; \theta'(0)=0,\; \theta(1)=0$;

• usar la expansión en series alrededor del centro (ecuaciones (A),(B)) para condiciones iniciales precisas en $\rho_{\min}$;

• usar el sistema (S) y el criterio (C)+(D) como condiciones para hallar $(\theta_0^\star,\Lambda_c)$;

• implementar el esquema de shooting + Newton (o método collocation BVP con continuación) para obtener numéricamente $\Lambda_c$ con la precisión deseada y el perfil $\theta_c(\rho)$;

• mapear a variables físicas para obtener $R_c$ o el umbral en $E$, $\sigma_0$, etc.

Apéndice de ecuaciones clave

Resumen completo de ecuaciones clave derivadas en el artículo:

A. Ecuación Frank–Kamenetskii radial adimensional

$$\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\Big(\rho \frac{d\theta}{d\rho}\Big) + \Lambda e^{\theta} = 0, \quad 0 \le \rho \le 1, \quad \theta'(0)=0, \quad \theta(1)=0$$

B. Expansión en el centro ($\rho\to 0$)

$$\theta(\rho) = \theta_0 - \frac{\Lambda e^{\theta_0}}{4}\rho^2 + \frac{\Lambda^2 e^{2\theta_0}}{64}\rho^4 + \mathcal{O}(\rho^6)$$

C. Relación implícita para $\Lambda(\theta_0)$

$$F(\theta_0, \Lambda) := \theta(1; \theta_0, \Lambda) = 0$$

D. Condición de punto de plegado (umbral crítico $\Lambda_c$)

$$\frac{\partial F}{\partial \theta_0} = u(1) = 0 \quad \Rightarrow \quad \Lambda_c = \max_{\theta_0} \Lambda(\theta_0)$$

E. Ecuaciones variacionales para el punto de plegado

$$\begin{cases} u'' + \frac{1}{\rho} u' + \Lambda e^{\theta} u = 0, & u(0)=1, u'(0)=0\\[2mm] v'' + \frac{1}{\rho} v' + \Lambda e^{\theta} v = - e^{\theta}, & v(0)=0, v'(0)=0 \end{cases}$$

F. Relación integral para derivada en el borde

$$\theta_c'(1) = -\Lambda_c \int_0^1 \rho e^{\theta_c(\rho)}\, d\rho$$

G. Escalado físico a radio crítico

$$R_c = \sqrt{\frac{k \Lambda_c}{\beta \sigma_0 E^2}}$$

Estas ecuaciones resumen el formalismo matemático completo, las simplificaciones y los indicadores críticos para predicción de umbrales.

Referencias comentadas

1. Frank, H. & Kamenetskii, D. (1956). "Diffusion and heat production in chemical kinetics."

   • Introduce la ecuación que lleva su nombre para predicción de runaway térmico. Base del modelo radial.

2. Merkin, J.H. (1997). "Introduction to the Theory of Stability."

   • Explica puntos de plegado (fold bifurcations) y análisis de estabilidad en sistemas no lineales. Aplicable a $\Lambda_c$.

3. Gray, P. & Scott, S.K. (1990). "Chemical Oscillations and Instabilities."

   • Conexión de ecuaciones de reacción-difusión con dinámicas no lineales y atractores; proporciona contexto sobre bifurcaciones de tipo saddle-node.

4. Bebernes, J.W. & Eberly, D. (1989). "Mathematical Problems from Combustion Theory."

   • Desarrollo del análisis radial y series alrededor del centro, así como criterios de ignición en geometrías cilíndricas y esféricas.

5. Keller, H.B. (1976). "Numerical Methods for Two-Point Boundary-Value Problems."

   • Proporciona técnicas de shooting y collocation para resolver BVPs, aplicables al cálculo numérico de $\Lambda_c$ y $\theta_c(\rho)$.