Modelos matemáticos y teóricos: Ecuaciones de flujo toroidal acoplado

Abstract

Se propone un marco matemático unificado para describir (A) flujos toroidales acoplados con estructura helicoidal y (B) la propagación de información bioeléctrica modelada por EDP locales y no locales. El objetivo es formalizar, desde geometría diferencial y análisis de EDP, cómo los invariantes topológicos (helicidad, número de enlace), las restricciones geométricas del toro $\mathbb{T}^2$ y del toro macroscópico embebido en $\mathbb{R}^3$, y las leyes de conservación (masa, carga, energía libre) regulan dinámicas acopladas con intercambio de información. Para (A) se desarrolla un sistema MHD incomprensible en coordenadas toroidales con campos de Beltrami como estados críticos de energía sometidos a restricciones de helicidad y con acoplos entre tori anidados. Para (B) se presenta un continuo bioeléctrico que combina ecuaciones tipo cable/bidominio con difusión fraccionaria y términos de transporte no local que representan vectores discretos (p. ej., exosomas) que median el intercambio de estados eléctricos e información. Además, se define explícitamente un balance de “densidad de información” y su flujo, acoplado al potencial transmembrana y a campos bioeléctricos. Se discuten estabilidad espectral, problemas de frontera, formulación variacional, y criterios de equivalencia entre descripciones de campo y redes discretas. El marco permite auditoría matemática del seguimiento de estados, estimación de flujos de información y formulación de conjeturas falsables sin recurrir a supuestos regulatorios ni fuentes con conflicto de interés.

Palabras clave: flujo toroidal; helicidad; MHD; campos de Beltrami; ecuación de Navier–Stokes en $\mathbb{T}^2$ y toro embebido; bidominio; ecuación de cable; difusión fraccionaria; transporte no local; exosomas; densidad de información; operador de Laplace–Beltrami; descomposición de Hodge; estabilidad espectral; funcional de energía libre.

Introducción y alcance

Los flujos toroidales son ubicuos: desde plasmas confinados en máquinas toroidales (tokamaks, stellarators) hasta vorticidad organizada en fluidos, pasando por configuraciones helicoidales en materiales activos. En biología, la propagación de estados eléctricos (potencial de membrana, ondas de excitabilidad, patrones morfogenéticos guiados por gradientes eléctricos) se trata con ecuaciones de medio continuo (cable, mono/bidominio) y, cada vez más, con extensiones no locales para incorporar transporte intercelular discreto (p. ej., exosomas) y conectividad a larga distancia.

El propósito es articular modelos pendientes que integren: (i) una cinemática y dinámica toroidal acoplada con invariantes topológicos explícitos, y (ii) PDEs bioeléctricas con términos de información definidos y medibles (densidad, flujo y disipación de información) y con puentes no locales que representen canales de intercambio discretos.

Marco geométrico y operadores en el toro

Geometría del toro y métricas relevantes

Consideramos dos representaciones:

1. Toro plano $\mathbb{T}^2 = \mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2$ con coordenadas angulares $(\theta,\phi)\in [0,2\pi)^2$, métrica euclídea inducida y operador de Laplace–Beltrami $\Delta = \partial_{\theta\theta} + \partial_{\phi\phi}$.

2. Toro embebido en $\mathbb{R}^3$ con radios mayor $R$ y menor $r$ $(0<r<R)$. En coordenadas toroidales, el elemento de línea induce una métrica $g$ con determinante $\sqrt{|g|} = (R + r\cos\theta)\, r$. El Laplace–Beltrami toma la forma

$$\Delta_g f = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_i \left(\sqrt{|g|}\, g^{ij}\, \partial_j f \right),$$

que controla difusión, vorticidad y operadores elípticos clave.

Descomposición de Hodge en el toro

En 2D y 3D, cualquier campo vectorial suficientemente regular admite descomposición de Hodge:

$$\mathbf{u} = \nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A} + \mathbf{h},$$

con $\mathbf{h}$ armónico. En dominios toroidales, $\mathbf{h}$ recoge la parte topológica (ciclos no contráctiles a lo largo de las direcciones poloidal/toridal), lo que es crucial para helicidad y estados de mínima energía bajo restricciones.

Ecuaciones de flujo toroidal acoplado

Fluido incompresible y MHD

Para un fluido conductor en dominio toroidal $\Omega$,

$$\begin{aligned} &\partial_t \mathbf{u} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} = -\nabla p + \nu \Delta_g \mathbf{u} + \frac{1}{\rho} (\nabla \times \mathbf{B}) \times \mathbf{B}, \\ &\partial_t \mathbf{B} = \nabla \times (\mathbf{u} \times \mathbf{B}) + \eta \Delta_g \mathbf{B}, \\ &\nabla \cdot \mathbf{u} = 0,\quad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0. \end{aligned}$$

Aquí $\nu$ es viscosidad cinemática, $\eta$ difusividad magnética. Las fronteras pueden ser periódicas (toro ideal) o con condiciones físicas (pared conductora/aislante).

Invariantes: energía cinética $E_u$, energía magnética $E_B$, helicidad magnética $H_m=\int_\Omega \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\, dV$ (con $\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$) y helicidad cruzada $H_c=\int \mathbf{u}\cdot \mathbf{B}\, dV$ en regímenes ideales.

Campos de Beltrami y relajación de Taylor

Estados críticos bajo restricción de helicidad conducen a campos de Beltrami:

$$\nabla \times \mathbf{B} = \lambda \mathbf{B}, \quad \nabla \cdot \mathbf{B}=0,$$

con $\lambda$ constante por modo. En un toro, las soluciones se indexan por números de giro (poloidal/toridal). La relajación de Taylor postula que, bajo reconexión rápida, el sistema minimiza energía magnética a helicidad fija, tendiendo a configuraciones Beltrami globales o por regiones.

Acoplo entre tori anidados y condiciones de matching

Supóngase una familia de tori $\{\Omega_k\}_{k=1}^N$ anidados. Sea $\Gamma_{k,k+1}$ la interfase. Introducimos un funcional de energía acoplada

$$\mathcal{F} = \sum_{k=1}^N \left( \alpha_k E_{u,k} + \beta_k E_{B,k} \right) + \sum_{k=1}^{N-1} \gamma_{k,k+1} \int_{\Gamma_{k,k+1}} \|\mathbf{B}_k - \mathbf{B}_{k+1}\|^2 + \delta_{k,k+1} \|\mathbf{u}_k - \mathbf{u}_{k+1}\|^2 \, dS,$$

cuyos Euler–Lagrange imponen condiciones de contorno dinámicas (matching de campos tangenciales, salto controlado en normales) y seleccionan perfiles de corte y cizalla compatibles con helicidad global. Esto permite estudiar modos híbridos con “locking” de fases toroidal/poloidal.

Estabilidad espectral y operadores en el toro

Linealizando alrededor de un estado base $(\mathbf{u}_0,\mathbf{B}_0)$, la evolución de perturbaciones $\mathbf{q}=(\mathbf{u}',\mathbf{B}')$ se rige por un operador lineal no normal $\mathcal{L}$. En $\mathbb{T}^2$ plano, modos $\exp(i m\theta + i n\phi)$ conducen a espectros discretos $\lambda_{m,n}$; en el toro embebido, la curvatura y el factor métrico $\sqrt{|g|}$ desplazan frecuencias y acoplos. La energía transitoria se cuantifica por $\| e^{t\mathcal{L}} \|$, relevante para desencadenar transiciones subcríticas. Una vía práctica es el análisis resolvente y pseudospectros, junto a métodos variacionales con bases de funciones adaptadas a la topología (armónicos en el toro).

Formulación variacional y esquemas numéricos conservativos

La formulación débil, con espacios de Hilbert $V=\{\mathbf{v}\in H^1(\Omega)^3: \nabla\cdot \mathbf{v}=0\}$ y $W=\{\mathbf{w}\in H^1(\Omega)^3: \nabla\cdot \mathbf{w}=0\}$, permite esquemas tipo Galerkin (espectrales en $\mathbb{T}^2$, elementos finitos en toro embebido) que preservan divergencia cero mediante bases compatibles (Raviart–Thomas/Nédélec). La conservación discreta de helicidad requiere rotacionales conformes y proyecciones H(div)/H(curl) consistentes.

Modelos diferenciales parciales de propagación de información bioeléctrica

Continuo eléctrico: cable, mono/bidominio

A escala tisular, el modelo bidominio para potencial intracelular $\phi_i$ y extracelular $\phi_e$ en una variedad $\mathcal{M}$ (p. ej., superficie cortical) con tensores de conductividad $\mathbf{\Sigma}_i,\mathbf{\Sigma}_e$ y capacitancia/ionómica $I_{ion}(v,\mathbf{w})$ (siendo $v=\phi_i-\phi_e$):

$$\begin{aligned} &C_m \partial_t v + I_{ion}(v,\mathbf{w}) - \nabla\cdot(\mathbf{\Sigma}_i \nabla \phi_i) = I_{app}, \\ &-\nabla\cdot(\mathbf{\Sigma}_i \nabla \phi_i) - \nabla\cdot(\mathbf{\Sigma}_e \nabla \phi_e) = 0. \end{aligned}$$

El monodominio resulta al asumir proporcionalidad $\mathbf{\Sigma}_i=\lambda \mathbf{\Sigma}_e$, conduciendo a una ecuación de reacción–difusión para $v$:

$$C_m \partial_t v = \nabla\cdot(\mathbf{D}\nabla v) - I_{ion}(v,\mathbf{w}) + I_{app}.$$

Los términos $I_{ion}$ pueden ser Hodgkin–Huxley / FitzHugh–Nagumo / Aliev–Panfilov, etc.

Difusión fraccionaria y memoria

Para capturar colas de dispersión, esperas y memoria efectiva, se introducen operadores fraccionarios:

$$C_m \, \mathrm{D}_t^\alpha v = \nabla\cdot(\mathbf{D} \nabla v) - I_{ion}(v,\mathbf{w}) + I_{app}, \quad 0<\alpha\le 1,$$

donde $\mathrm{D}_t^\alpha$ es derivada de Caputo. Esto formaliza subdifusión (heterogeneidad, porosidad tisular, multiescala).

Transporte no local para intercambio discreto (exosomas u otros vectores)

Sea $u(\mathbf{x},t)$ un estado bioeléctrico/biomolecular relevante (p. ej., nivel de un canal iónico modulador). Modelamos intercambio a distancia mediante un término integral:

$$\partial_t u(\mathbf{x},t) = \nabla\cdot(\mathbf{D}\nabla u) + \mathcal{R}(u,\ldots) + \int_{\mathcal{M}} K(\mathbf{x},\mathbf{y})\,[u(\mathbf{y},t-\tau(\mathbf{x},\mathbf{y})) - u(\mathbf{x},t)]\, d\mu(\mathbf{y}),$$

con núcleo de conectividad $K$ (simétrico/no simétrico), retardos $\tau$ (tiempos de tránsito), y medida $d\mu$ acorde a la métrica. Este término implementa “puentes” de comunicación que no requieren contigüidad.

Densidad y flujo de información acoplados al campo bioeléctrico

Definimos una densidad de información $\mathcal{I}(\mathbf{x},t)$ asociada al estado $v$ mediante, por ejemplo, la entropía diferencial local de un campo gaussianizado o, más directamente, como “información sorpresa” de un modelo predictivo $P$:

$$\mathcal{I}(\mathbf{x},t) := -\log P\big(v(\mathbf{x},t)\,\big|\,\mathcal{H}_{t^-}\big).$$

A nivel continuo, el balance de información adopta forma de ecuación de continuidad:

$$\partial_t \mathcal{I} + \nabla\cdot \mathbf{J}_\mathcal{I} = \sigma_\mathcal{I} - \varepsilon_\mathcal{I},$$

donde $\mathbf{J}_\mathcal{I}$ es flujo de información (p. ej., proporcional a gradientes de probabilidad/score $\nabla \log p$ y a la movilidad eléctrica), $\sigma_\mathcal{I}$ fuentes (entradas/aprendizaje) y $\varepsilon_\mathcal{I}$ disipación (ruido, decoherencia). Un cierre práctico vincula $\mathbf{J}_\mathcal{I}$ con el campo eléctrico $\mathbf{E}=-\nabla \phi_e$ y con el flujo de carga:

$$\mathbf{J}_\mathcal{I} = \chi_1\, \mathbf{J}_q\cdot \nabla \log p(v) + \chi_2\, \nabla v,\qquad \mathbf{J}_q=-\mathbf{\Sigma}_e \nabla \phi_e,$$

introduciendo coeficientes $\chi_{1,2}$ calibrables. Esta capa permite “seguir” explícitamente el transporte de información superpuesto al transporte eléctrico.

Acoplo campo–red: equivalencias continuo–discreto

Sea $G=(V,E)$ la red celular (gap junctions) con Laplaciano discreto $L$. En escalas gruesas, $L$ aproxima $-\Delta_g$ sobre $\mathcal{M}$. El intercambio no local se representa con un Laplaciano con kernel:

$$\mathcal{L}_K u(\mathbf{x}) = \int_{\mathcal{M}} K(\mathbf{x},\mathbf{y})\,[u(\mathbf{x})-u(\mathbf{y})]\,d\mu(\mathbf{y}),$$

que se reduce al Laplaciano clásico para núcleos locales isotrópicos. Esto proporciona equivalencias de orden útiles para análisis espectral y estabilidad.

Reacción–difusión excitable y ondas sobre variedades toroidales

En un parche toroidal $\mathbb{T}^2$ o en un toro embebido, una familia tipo FitzHugh–Nagumo (v variable excitable, w variable de recuperación) con anisotropía:

$$\begin{aligned} \partial_t v &= \nabla\cdot(\mathbf{D}\nabla v) + f(v) - w + I_{app},\\ \partial_t w &= \epsilon\,(v + a - b w), \end{aligned}$$

y condiciones periódicas $(\theta,\phi)$, exhibe ondas rotantes con números de giro $(m,n)$ que fijan periodicidades toroidal/poloidal. La curvatura efectiva y la torsión (en el toro embebido) ajustan velocidades de fase y umbrales de anclaje.

Funcional de energía libre y leyes de Lyapunov

Para sistemas sobredifusivos/excitables puede definirse un funcional de energía libre

$$\mathcal{E}[v] = \int_{\mathcal{M}} \left( \tfrac{1}{2}\nabla v \cdot \mathbf{D} \nabla v + U(v) \right) d\mu,$$

cuyo decrecimiento $\frac{d}{dt}\mathcal{E}\le 0$ bajo dinámica gradiente ofrece criterios de estabilidad. Para modelos no locales/fraccionarios, $\mathcal{E}$ se extiende con seminomras de Gagliardo $[v]_{H^{\alpha/2}}^2$ y términos $\iint K(\cdot)(v(\mathbf{x})-v(\mathbf{y}))^2\, d\mu d\mu$.

Acoplos toroides–bioelectricidad: principios de consistencia

Sin invocar mecanismos específicos más allá de campos y transporte, la consistencia matemática exige:

1. Conservación y topología. Los términos de intercambio deben respetar balance de carga y energía. En dominios con topología toroidal, los modos armónicos (parte de Hodge) pueden actuar como canales preferentes de transporte/almacenamiento.

2. Escalas separadas y clausura. El acoplo de un campo toroidal macroscópico con un medio bioeléctrico se expresa como fuerzas externas $I_{app}(\mathbf{x},t)$ y/o modulación paramétrica de $\mathbf{D},\mathbf{\Sigma}$, preservando positividad/hipoelipticidad.

3. Equivalencia estadística continuo–red. Cualquier acoplo debe producir el mismo espectro de correlaciones (medido por el operador de transferencia/Koopman) en el límite hidrodinámico.

Problemas de valor inicial y de frontera (IBVP)

En $\Omega\subset \mathbb{R}^3$ toroidal:

• MHD: datos iniciales $(\mathbf{u}_0,\mathbf{B}_0)$ solenoidales, condiciones periódicas o parecidas a conductor perfecto ($\mathbf{B}\cdot \mathbf{n}=0$, $\mathbf{E}_t=0$). Disipación garantiza existencia global en 2D; en 3D, resultados condicionales (regularidad abierta).

• Bidominio: condiciones de Neumann mixtas $\mathbf{n}\cdot \mathbf{\Sigma}_e\nabla \phi_e = g$, $\mathbf{n}\cdot \mathbf{\Sigma}_i\nabla \phi_i = h$. En superficies (toro embebido) se preserva la integral cero del potencial para unicidad (calibración gauge).

• No locales: requerir simetría/positividad de $K$ y acotación de retardos $\tau$ para garantizar bien–puestas (Hille–Yosida).

Estimación, seguimiento y métricas de información

Para “seguir” estados y flujos:

• Observadores distribuidos: filtrar $v,\phi_e$ con observadores de Luenberger/kalmanianos en PDE usando discretizaciones compatibles.

• Entropía de Fisher local: $\mathcal{J}(v)=\int \|\nabla \log p(v)\|^2 d\mu$ como métrica de sensibilidad.

• Tasas de información mutua espacio–tiempo: estimables con expansiones locales de copulas o aproximaciones gaussianas; se acoplan al flujo eléctrico $\mathbf{J}_q$.

• Identificabilidad de kernels $K$: problema inverso Tikhonov sobre $\mathcal{L}_K$ con regularización de baja–rango (nucleación de “vías preferentes”).

Conjuntos modelo pendientes (propuestas formales)

MHD toroidal con tornillos Beltrami multimodo

Sistema:

$$\begin{cases} \partial_t \mathbf{u} + \mathcal{P}[(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}] = \nu \Delta_g \mathbf{u} + \mathcal{P}[(\nabla\times\mathbf{B})\times \mathbf{B}],\\ \partial_t \mathbf{B} = \nabla \times (\mathbf{u}\times \mathbf{B}) + \eta \Delta_g \mathbf{B},\\ \nabla\cdot\mathbf{u}=\nabla\cdot\mathbf{B}=0, \end{cases}$$

con proyección solenoidal $\mathcal{P}$. Estados base $\mathbf{B}_0=\sum_j a_j \mathbf{B}^{(j)}$, $\nabla\times \mathbf{B}^{(j)}=\lambda_j \mathbf{B}^{(j)}$. Estabilidad vía análisis resolvente en bases armónicas toroidales.

Bidominio no local fraccionario con densidad de información

$$\begin{aligned} C_m \mathrm{D}_t^\alpha v &= \nabla\cdot(\mathbf{D}\nabla v) - I_{ion}(v,\mathbf{w}) + I_{app} + \kappa\, \mathcal{L}_K v,\\ \partial_t \mathcal{I} + \nabla\cdot \mathbf{J}_\mathcal{I} &= \sigma_\mathcal{I}(v,\phi_e) - \varepsilon_\mathcal{I}(v,\phi_e),\\ \mathbf{J}_\mathcal{I} &= \chi_1 \mathbf{J}_q\cdot \nabla \log p(v) + \chi_2 \nabla v. \end{aligned}$$

Con $K(\mathbf{x},\mathbf{y})$ anisotrópico (direccionalidad de fibras), retardos $\tau$ y cierre para $p(v)$ a partir de estimadores empíricos.

Red–campo en un toro embebido

Sea $\mathcal{M}$ un toro en $\mathbb{R}^3$. La red $G$ se embebe en $\mathcal{M}$ con densidad nodal $\rho(\theta,\phi)$. El límite hidrodinámico de la dinámica discreta

$$\dot{v}_i = \sum_{j} a_{ij} (v_j - v_i) + F(v_i,w_i) + \sum_{j} b_{ij} \big(v_j(t-\tau_{ij}) - v_i(t)\big)$$

conduce a la PDE no local de 8.2 con $K$ ligado a la medida de geodésicas en $\mathcal{M}$.

Estabilidad, bifurcaciones y espectros en dominios toroidales

• Modos girótrones: en $\mathbb{T}^2$ los autovalores de $-\Delta$ son $m^2+n^2$; en toro embebido, la métrica deforma el espectro. La coincidencia de frecuencias reacciona en bloqueo de fase entre transporte y excitabilidad.

• Bifurcaciones Hopf/Turing: acoplos anisotrópicos/retardos introducen inestabilidades moduladas que nucleonan patrones helicoidales y ondas viajantes con números de giro. El término no local puede estabilizar o desestabilizar según el signo de $\widehat{K}(k)$.

• Criterios de energía: con $\mathcal{E}$ decreciente, regiones de parámetro aseguran atracción hacia colectores de baja energía (p. ej., ondas rotantes estables).

Identidad métrica de información y leyes de conservación extendidas

Defínase la producción de información total

$$\frac{d}{dt}\int_{\mathcal{M}} \mathcal{I}\, d\mu = \int_{\partial \mathcal{M}} \mathbf{J}_\mathcal{I}\cdot \mathbf{n}\, dS + \int_{\mathcal{M}} (\sigma_\mathcal{I} - \varepsilon_\mathcal{I})\, d\mu.$$

Cuando la frontera es periódica (toro ideal), el primer término se anula, quedando una ley de balance global útil para auditoría del seguimiento de estados informacionales.

Esquemas numéricos y verificaciones internas

• Discretización compatible: elementos H(curl)/H(div) para MHD; elementos superficiales en toro embebido; suma de volúmenes finitos para conservar flujos.

• Cálculo fraccionario: Grünwald–Letnikov/Caputo discretos con estabilidad $A(\alpha)$.

• No local: cuadraturas en $\mathcal{L}_K$ con sparsificación de núcleos (umbral geodésico), controlando coste $O(N \log N)$ con FMM/FFTs en $\mathbb{T}^2$.

• Estimación de $\mathcal{I}$: densidades kernel adaptativas; score matching para $\nabla \log p$.

Discusión sintética

El andamiaje presentado pone en pie dos familias de modelos pendientes pero matemáticamente cerradas: (i) MHD toroidal con acoplo entre tori y estados Beltrami multimodo, y (ii) bioelectricidad de medio continuo no local/fraccionaria con balance explícito de información. La topología toroidal aporta canales armónicos persistentes; las leyes variacionales y los invariantes reducen la dimensionalidad efectiva; los términos no locales formalizan el intercambio discreto sin violar conservación. El resultado es un lenguaje común –geométrico, espectral e informacional– apto para correlacionar organización helicoidal y propagación de estados eléctricos con trazabilidad cuantitativa del flujo de información.

Resumen

• Se formula MHD en dominios toroidales con estados de Beltrami multimodo y acoplos entre tori anidados mediante un funcional de energía con matching dinámico en interfaces.

• La estabilidad se aborda con análisis resolvente y bases armónicas en $\mathbb{T}^2$ / toro embebido, incorporando efectos métricos en el espectro.

• Para bioelectricidad, se propone un bidominio no local/fraccionario con término integral $\mathcal{L}_K$ y retardos $\tau$ que representa intercambio discreto (p. ej., exosomas).

• Se introduce una ecuación de continuidad para la densidad de información $\mathcal{I}$ y su flujo $\mathbf{J}_\mathcal{I}$, acoplado al flujo de carga $\mathbf{J}_q$.

• Se establecen equivalencias continuo–red mediante Laplacianos con kernel y límites hidrodinámicos en superficies toroidales.

• Se dan criterios de estabilidad basados en funcionales de energía libre extendidos a términos fraccionarios y no locales.

• El marco viabiliza el seguimiento de estados eléctricos e informacionales y la auditoría de balances sin suposiciones regulatorias.

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