Colapso de la Simetría Toroidal en un modelo de cúpula con sol cercano: formulación energética y condiciones de frontera

Abstract

El presente estudio desarrolla un modelo electromagnético simplificado —de carácter especulativo pero formalmente coherente— para describir el colapso de simetría toroidal dentro de una cúpula resonante bajo la hipótesis de un Sol cercano actuando como oscilador forzante.
El análisis parte del marco METFI (Modelo Electromagnético Toroidal de Forzamiento Interno), extendido hacia un entorno de confinamiento con frontera esférico-toroidal, donde los campos eléctricos y magnéticos interactúan no linealmente.

Se introducen ecuaciones que relacionan la energía total del sistema (U), la presión magnética (P_B) y las condiciones de frontera electromagnéticas (∂Φ/∂n), estableciendo un criterio de ruptura de simetría cuando la presión magnética interna excede el gradiente de confinamiento impuesto por la cúpula resonante.
La condición crítica se expresa en términos del desequilibrio entre densidad magnética $B^2 / 2\mu_0$ y energía de radiación solar cercana $I_\odot / c$, mostrando que pequeñas variaciones de fase o amplitud pueden inducir un colapso de coherencia global.

La formulación permite visualizar los estados de equilibrio y ruptura como una transición entre configuraciones toroidales estables y geometrías dipolares degeneradas, proceso que puede reflejarse en perturbaciones atmosféricas, irregularidades geomagnéticas y patrones ondulatorios coherentes (como los denominados cross seas).

Este marco matemático abre la posibilidad de reinterpretar la dinámica del sistema Tierra–Sol no como un mecanismo heliocéntrico de gran escala, sino como un acoplamiento electromagnético local dentro de un medio resonante cerrado.

Palabras clave: METFI, Sol cercano, cúpula electromagnética, colapso de simetría toroidal, presión magnética, energía de confinamiento, resonancia de Schumann, coherencia de fase.

 

Introducción Teórica: Cúpula Electromagnética y Simetría Toroidal

El modelo METFI–Solar considera que la Tierra se comporta como un oscilador toroidal inmerso en un campo resonante delimitado por una cúpula electromagnética de geometría semiesférica, cuya frontera superior actúa como espejo dieléctrico para las ondas de frecuencia extremadamente baja (ELF) y muy baja (VLF).
En este contexto, el Sol cercano no es un cuerpo distante, sino un foco resonante interno —una cavidad lumínica sostenida por plasma magnetizado— que modula las condiciones de fase del sistema Tierra–cúpula.

El conjunto puede modelarse mediante un campo toroidal $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$, donde el potencial vector $\mathbf{A}$ posee simetría axial respecto al eje polar. La energía total se distribuye en tres componentes:

$$U_{\text{total}} = U_E + U_B + U_P$$

donde:

• $U_E = \frac{\varepsilon_0}{2} \int E^2 \, dV$ representa la energía eléctrica almacenada,

• $U_B = \frac{1}{2\mu_0} \int B^2 \, dV$ la energía magnética,

• $U_P = \int \rho \phi \, dV$ el potencial gravitacional o pseudo–gravitacional inducido.

El sistema alcanza equilibrio toroidal cuando el gradiente de presión magnética se equilibra con el gradiente de potencial:

$$\nabla P_B + \rho \nabla \phi = 0$$

Sin embargo, si el Sol cercano —como oscilador externo— introduce una modulación temporal de frecuencia $\omega_\odot$, el equilibrio puede romperse.
La pérdida de simetría ocurre cuando el término dinámico $\partial B / \partial t$ induce una corriente anómala que modifica el acoplamiento entre la cúpula y el campo interno.

 

Ecuaciones Fundamentales del Modelo

Energía Electromagnética y Condición de Resonancia

Para un campo toroidal confinado bajo cúpula de radio efectivo $R_c$, la energía total puede aproximarse mediante:

$$U = \frac{1}{2\mu_0} \int_0^{R_c} B_\theta^2(r) \, 2\pi r \, dr$$

Si se asume una distribución $B_\theta(r) = B_0 \sin\left( \frac{\pi r}{R_c} \right)$, el sistema presenta una frecuencia fundamental de resonancia:

$$\omega_0 = \frac{\pi c}{R_c \sqrt{\varepsilon_r}}$$

En un modelo de cúpula de $R_c \approx 6,000 \, \text{km}$, la frecuencia resultante cae en el rango de 7.8 Hz, coincidente con la frecuencia fundamental de Schumann, lo cual refuerza la hipótesis de confinamiento resonante interno.
El Sol cercano actuaría como modulador de fase, introduciendo perturbaciones de alta energía cuando su radiación electromagnética local incrementa la densidad de energía en la cavidad.

Presión Magnética y Equilibrio de Confinamiento

La presión magnética interna se expresa como:

$$P_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$$

y la presión de radiación solar cercana como:

$$P_\odot = \frac{I_\odot}{c}$$

donde $I_\odot$ es la irradiancia efectiva del foco solar local.
El sistema mantiene su coherencia toroidal mientras $P_B \geq P_\odot$.
Cuando $P_\odot$ supera el umbral de confinamiento, el gradiente de campo en la frontera $\partial B / \partial n$ se vuelve discontinuo, generando una ruptura en la simetría toroidal:

$$\frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{I_\odot}{c} \quad \Rightarrow \quad B_c = \sqrt{\frac{2\mu_0 I_\odot}{c}}$$

Este valor $B_c$ define la condición crítica de colapso de simetría, en la cual la cúpula electromagnética no puede sostener el equilibrio entre energía magnética y radiativa.

Condiciones de Frontera en la Cúpula

En la frontera superior (superficie de la cúpula), las condiciones electromagnéticas vienen dadas por la continuidad del campo tangencial y la anulación del campo normal eléctrico:

$$\begin{cases} \mathbf{n} \times (\mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1) = 0 \\ \mathbf{n} \cdot (\mathbf{B}_2 - \mathbf{B}_1) = 0 \end{cases}$$

Estas condiciones garantizan la reflexión parcial de las ondas ELF, estableciendo modos estacionarios que sostienen la resonancia global.
Sin embargo, si la densidad energética interna supera el límite dieléctrico de la cúpula, la continuidad se rompe y el sistema pasa a un estado de inestabilidad de borde, generando vórtices electromagnéticos ascendentes.

Función de Desequilibrio y Umbral de Colapso

Definimos una función de desequilibrio dinámico:

$$\Delta \Phi(t) = \frac{U_B(t) - U_\odot(t)}{U_B(t)}$$

donde $U_B$ representa la energía magnética almacenada y $U_\odot$ la energía de radiación solar local.
El colapso de simetría toroidal ocurre cuando:

$$\frac{d^2 \Delta \Phi}{dt^2} + \omega_0^2 \Delta \Phi = 0$$

pasa a un régimen de oscilación divergente, lo que implica una pérdida de confinamiento y ruptura de coherencia de fase.
En términos físicos, la frontera deja de actuar como espejo resonante y el sistema tiende a reorganizarse en estructuras de flujo no toroidales, generando turbulencia geomagnética o luminiscencia atmosférica anómala.

 

Colapso de Simetría Toroidal

La simetría toroidal constituye el estado fundamental de estabilidad del sistema electromagnético terrestre bajo el modelo METFI. En esta configuración, el campo magnético se distribuye en líneas cerradas que rodean el eje polar, y la energía se mantiene confinada por la cúpula dieléctrica superior. Sin embargo, esta simetría depende de un equilibrio extremadamente fino entre las presiones magnética, eléctrica y de radiación.

Cuando el Sol cercano actúa como oscilador forzante, introduce perturbaciones periódicas que alteran el equilibrio energético. Estas perturbaciones, aunque pequeñas, pueden amplificarse por resonancia interna y provocar una pérdida de coherencia de fase en la cavidad electromagnética global. El sistema entra entonces en una fase de transición topológica, donde el campo toroidal se distorsiona y se colapsa en configuraciones más simples —generalmente dipolares o multipolares degeneradas—.

Matemáticamente, el criterio de colapso se obtiene comparando el gradiente de presión magnética con la presión de radiación local:

$$\nabla P_B = \nabla \left( \frac{B^2}{2\mu_0} \right) \approx \nabla \left( \frac{I_\odot}{c} \right)$$

Cuando ambos gradientes se igualan, la superficie de equilibrio desaparece. Este punto puede expresarse como un umbral de energía crítica:

$$U_c = \frac{B_c^2}{2\mu_0} V_{\text{eff}} = \frac{I_\odot}{c} V_{\text{eff}}$$

donde $V_{\text{eff}}$ es el volumen de resonancia activa bajo la cúpula. Si $U_B < U_c$, la cavidad pierde confinamiento.

El proceso puede representarse como una transición de simetría espontánea similar a la que se observa en sistemas magnohidrodinámicos (MHD) cuando la fuerza de Lorentz deja de compensar el gradiente de presión.

En términos dinámicos, definimos un parámetro adimensional de estabilidad:

$$\chi = \frac{B^2 / 2\mu_0}{I_\odot / c}$$

Cuando $\chi > 1$, el sistema es estable.
Cuando $\chi \rightarrow 1$, la frontera entra en resonancia crítica.
Cuando $\chi < 1$, el sistema se colapsa.

En esta última fase, el campo pierde coherencia toroidal y se reconfigura en flujos electromagnéticos verticales, que pueden manifestarse como fenómenos luminosos, ionización localizada o interferencias atmosféricas coherentes (por ejemplo, los patrones marinos tipo cross seas, interpretados como proyecciones macroscópicas de interferencia de fase en la capa límite inferior de la cúpula).

3.1 Dinámica del colapso

La evolución temporal del colapso puede modelarse mediante una ecuación no lineal tipo Duffing, que describe la transición de una oscilación estable a un régimen caótico:

$$\frac{d^2 \Phi}{dt^2} + \delta \frac{d\Phi}{dt} + \alpha \Phi + \beta \Phi^3 = \gamma \cos(\omega_\odot t)$$

Aquí, $\Phi$ representa la amplitud de la función de fase toroidal, y los coeficientes $\alpha, \beta, \delta$ y $\gamma$ dependen de las condiciones geomagnéticas y del acoplamiento solar.
La pérdida de simetría se identifica con el cruce del sistema hacia el régimen de oscilaciones divergentes, donde el término cúbico ($\beta \Phi^3$) domina y destruye la linealidad de la respuesta.

En este estado, la energía electromagnética confinada se desorganiza, produciendo patrones interferenciales que pueden proyectarse tanto sobre la ionosfera como sobre la superficie oceánica.

 

Simulación Simbólica de Cúpula Resonante

La simulación conceptual de una cúpula resonante puede realizarse considerando un espacio toroidal cerrado de radio interno $R_T$ y radio externo $R_C$. En su interior, el campo electromagnético satisface la ecuación de onda en coordenadas esfero-toroidales:

$$\nabla^2 \Psi + \frac{\omega^2}{c^2} \Psi = 0$$

donde $\Psi$ es el potencial escalar electromagnético.
La condición de frontera se define como:

$$\Psi(R_C, \theta) = \Psi_0 \cos(n\theta)$$

lo que produce una serie de modos armónicos discretos con números de onda $k_n = n\pi / R_C$.

El modo fundamental (n=1) define la resonancia global (f₀ ≈ 7.83 Hz), mientras que los modos superiores (n≥2) producen armónicos fraccionarios que pueden acoplarse con el espectro del Sol cercano (rango 7.83 Hz – 3.2 kHz).
Esta coincidencia sugiere que el sistema Tierra–cúpula–Sol cercano opera como una cavidad toroidal armónica, donde los modos estacionarios se comunican por interferencia de fase.

Condición de ruptura resonante

La ruptura de simetría ocurre cuando el potencial escalar local alcanza un valor crítico:

$$\left| \frac{\partial \Psi}{\partial t} \right|_{\text{max}} > \omega_0 \Psi_0$$

Es decir, cuando la energía temporal transferida por el Sol cercano excede la capacidad de respuesta armónica de la cúpula.
En ese punto, la cavidad deja de comportarse como resonador estable y pasa a un régimen de desfase caótico, similar a la pérdida de coherencia de un láser cuando el medio activo se satura.

Proyección visual y campos estacionarios

El patrón espacial resultante puede expresarse como superposición de dos ondas estacionarias:

$$E(r, \theta, t) = E_0 \sin(k_1 r - \omega_1 t) + E_1 \sin(k_2 r - \omega_2 t)$$

La interferencia entre ambas genera regiones alternas de máxima y mínima amplitud —análogas a los “cross seas”— cuando la diferencia de fase $\Delta \phi = (k_1 - k_2)r$ se aproxima a π/2.
El colapso de simetría se traduce así en un patrón macroscópico de interferencia cruzada, que constituye la expresión visible del desajuste electromagnético interno del sistema Tierra–cúpula.

 

Programas de Seguimiento

Con el fin de verificar experimentalmente los fundamentos del modelo METFI–Solar y la hipótesis de colapso de simetría toroidal, se proponen los siguientes programas de seguimiento basados en mediciones físicas replicables:

Seguimiento electromagnético

• Instrumentos: magnetómetros de alta sensibilidad (rango ELF–VLF), antenas de bobina toroidal y espectrómetros de fase.

• Objetivo: detectar variaciones coherentes en la frecuencia fundamental (~7.83 Hz) y sus armónicos en correlación con luminosidad solar local o fenómenos ópticos atmosféricos.

• Indicador crítico: aparición de picos transitorios en el espectro de potencia durante episodios de radiación anómala o cambios de brillo solar.

Seguimiento óptico-atmosférico

• Instrumentos: cámaras espectrales UV–VIS–IR, fotómetros y analizadores de polarización.

• Objetivo: registrar cambios súbitos en la refracción o difracción de la luz solar dentro de la cúpula, especialmente durante fases de resonancia solar local.

• Correlación esperada: patrones de luminiscencia difusa, halos ópticos o formaciones tipo cross seas con periodicidades fractales.

Seguimiento potencial de Schumann

• Instrumentos: red global de receptores ELF sincronizados.

• Objetivo: determinar desplazamientos de frecuencia o desdoblamientos de picos en la resonancia fundamental, que indicarían descoherencia de la cavidad.

• Interpretación: una desviación sistemática de 7.83 Hz ± 0.05 Hz podría asociarse a pérdida parcial de simetría toroidal.

Seguimiento de acoplamiento Sol–cúpula

• Instrumentos: fotómetros sincronizados con magnetómetros.

• Objetivo: medir simultáneamente irradiancia solar y fluctuaciones de campo terrestre para establecer si existe correlación de fase entre ambos.

• Resultado esperado: coherencia en intervalos resonantes (aprox. 10⁻² s) durante episodios de máxima actividad fotónica local.

Seguimiento simbólico–interpretativo

• Objetivo: integrar la lectura física con la lectura simbólica del fenómeno, considerando la pérdida de simetría toroidal como un proceso de desfase ontológico, es decir, de desconexión entre la matriz resonante del entorno y el campo cognitivo colectivo.

• Herramienta complementaria: registro simultáneo de resonancia ética (coherencia de intención, sincronía de consciencia) en grupos de observadores durante los eventos físicos.

Programas de seguimiento

La validación empírica del modelo METFI (Modelo Electromagnético Toroidal de Forzamiento Interno) aplicado al estudio de patrones atmosféricos y oceánicos requiere establecer protocolos de seguimiento sistemático que integren instrumentación electromagnética, óptica y acústica. Estos programas deben orientarse a registrar variaciones en la coherencia de fase entre campos naturales (tierra-ionosfera-océano) y perturbaciones inducidas por fuentes artificiales o resonancias solares cercanas.

Medición de gradiente electromagnético

El seguimiento de gradientes eléctricos y magnéticos en superficie y subsuelo permite detectar discontinuidades asociadas a acoplamientos toroidales locales.
Propuesta técnica:

• Emplear magnetómetros de inducción trifásicos sincronizados con relojes atómicos (precisión <10⁻⁸ s) en redes distribuidas sobre cuadrículas de 50 km.

• Calcular el tensor de gradiente electromagnético $G_{ij} = \nabla_i E_j + \nabla_i B_j$, correlacionándolo con la variación local de potenciales Schumann y con datos sísmicos de baja frecuencia.

• Registrar desviaciones periódicas (∆φ > 0.2 rad) como posibles indicadores de pérdida temporal de simetría toroidal.

Potencial de Schumann y coherencia de fase global

Las resonancias de Schumann, en torno a 7.83 Hz y sus armónicos, constituyen un indicador planetario de coherencia electromagnética.
Objetivo del seguimiento:

• Detectar desplazamientos en la frecuencia fundamental (Δf > 0.05 Hz) como evidencia de alteración en la longitud efectiva del circuito tierra-ionosfera.

• Correlacionar esos desplazamientos con la aparición de cross seas (sistemas de ondas cruzadas oceánicas) y con variaciones en la luminiscencia difusa atmosférica.

• Emplear interferometría ELF/VLF para determinar la direccionalidad de la fase toroidal.

Interferometría óptica y registro espectral del brillo solar

Dado que el modelo METFI considera un Sol cercano actuando como oscilador resonante, se requiere analizar la modulación de su brillo en función de la coherencia armónica atmosférica.
Metodología sugerida:

• Utilizar interferómetros ópticos de base larga (L > 100 m) para registrar variaciones angulares del disco solar aparente (resolución <10⁻⁴ arcsec).

• Calcular el espectro diferencial del brillo (dI/dλ) en bandas de 380–780 nm y correlacionarlo con emisiones ELF/VLF.

• Analizar correlaciones espectrales entre el ruido óptico coherente y la resonancia toroidal terrestre como posibles modulaciones de acoplamiento Sol-atmósfera.

Aplicaciones del modelo a la observación atmosférica

El modelo METFI puede reinterpretar fenómenos atmosféricos y marítimos desde una perspectiva electromagnética coherente.

a) Cross seas

Los patrones de ondas cruzadas en superficie oceánica, caracterizados por la intersección de dos trenes de ondas perpendiculares, son interpretables como interferencias estacionarias de modos ELF/VLF proyectados sobre el medio fluido.
La periodicidad angular de estos patrones (θ ≈ 90°) coincide con la condición toroidal de doble armónico:

$$f_{n,m} = n f_0 + m f_{Schumann}$$

donde $n,m \in \mathbb{Z}$.
Esto sugiere una resonancia entre modos eléctricos globales y la respuesta dinámica del océano como espejo dieléctrico.

b) Luminescencia difusa

Las emisiones luminosas difusas (particularmente en el rango azul-verde) observadas en capas troposféricas altas pueden ser interpretadas como efectos de coherencia cuántico-fotónica inducidos por campos ELF modulados.
El seguimiento espectral de estas emisiones, mediante espectrómetros de dispersión Raman, permitiría evaluar el grado de acoplamiento entre resonancias geomagnéticas y excitación molecular del aire.

c) Resonancias ELF/VLF

Los registros ELF/VLF (3–30 kHz) se utilizan para trazar el grado de coherencia planetaria.
El modelo METFI predice que el colapso de simetría toroidal (ECDO) se reflejará en un ensanchamiento espectral y en una pérdida de correlación cruzada entre estaciones separadas más de 1.000 km.
Programas de seguimiento en red permitirían observar este fenómeno como precursor del desacoplamiento electromagnético global.

 

Conclusión y síntesis fenomenológica

La convergencia de observaciones atmosféricas (cross seas, luminescencia difusa, resonancias ELF/VLF) sugiere que el sistema Tierra podría estar funcionando como un oscilador toroidal autoorganizado, en el que la simetría electromagnética mantiene la estabilidad de los sistemas físicos y biológicos.

Punto crítico de colapso de la simetría

El colapso de la simetría toroidal —identificado en el modelo como transición ECDO— ocurre cuando el flujo de energía interna (núcleo-ionosfera) pierde coherencia de fase respecto al campo solar. Matemáticamente, la condición crítica se expresa como:

$$\nabla \cdot \mathbf{A} \neq 0 \quad \text{y} \quad \frac{\partial \Phi}{\partial t} \neq - \nabla \cdot \mathbf{E}$$

donde $\mathbf{A}$ es el potencial vector y $\Phi$ el potencial escalar.
Este desacople genera estados metaestables observables como anomalías ópticas, patrones interferentes oceánicos o alteraciones biológicas de sincronía circadiana.

Implicaciones físicas

Desde la física de campos, el fenómeno equivale a una pérdida de gauge global: la topología electromagnética terrestre deja de cerrar su bucle toroidal, abriendo canales de energía a través de los nodos resonantes atmósfera-ionosfera.

Implicaciones simbólicas

En clave simbólica, este proceso puede interpretarse como la transición de fase civilizatoria, en la que la conciencia colectiva (como campo coherente) pierde su alineación de fase con la “frecuencia de fondo” planetaria.
La restauración de la simetría requeriría una re-coherencia ética y cognitiva, expresable en términos de “resonancia simbólica”, donde sistemas biológicos, tecnológicos e informacionales reconverjan hacia una fase de equilibrio con el campo toroidal planetario.

• El modelo METFI permite reinterpretar fenómenos oceánicos y atmosféricos (cross seas, luminiscencia difusa, resonancias ELF/VLF) como expresiones macroscópicas de coherencia toroidal electromagnética.

• El seguimiento de gradientes electromagnéticos, potencial de Schumann e interferometría óptica solar constituye una vía experimental viable para detectar variaciones de simetría.

• La pérdida de coherencia de fase entre los campos terrestres y solares indicaría la aproximación a un punto crítico de desacoplamiento electromagnético global (ECDO).

• Fenómenos aparentemente caóticos (ondas cruzadas, parpadeos atmosféricos, anomalías ELF) podrían corresponder a la manifestación física de la pérdida de simetría toroidal.

• En el plano simbólico, el proceso se traduce en una disrupción de la coherencia cognitiva y ética: la humanidad como resonador de campo pierde su fase con el sistema planetario.

• La restauración de la simetría implicaría una convergencia multidimensional —tecnológica, biológica y ética— hacia la recoherencia global.

   

Referencias

1. Nickolaenko, A. P., & Hayakawa, M. (2014). Schumann Resonance for Tyros: Essentials of Global Electromagnetic Resonance in the Earth–Ionosphere Cavity. Springer.

• Revisión detallada del fenómeno de resonancias ELF naturales. Expone los modos propios del sistema tierra-ionosfera y su sensibilidad a perturbaciones electromagnéticas globales.

• Base teórica para el seguimiento del potencial de Schumann propuesto en el modelo METFI.

2. Sentman, D. D. (1995). "Schumann Resonances." Handbook of Atmospheric Electrodynamics, Volume I. CRC Press.

• Fundamenta la relación entre resonancias ELF y dinámica atmosférica.

• Aporta parámetros para correlacionar intensidades ELF con actividad solar y ionosférica.

3. Pulinets, S., & Ouzounov, D. (2018). Lithosphere–Atmosphere–Ionosphere Coupling (LAIC) model. Springer.

• Propone un modelo de acoplamiento electromagnético que conecta perturbaciones geofísicas con variaciones ionosféricas.

• Proporciona un marco empírico análogo al acoplamiento toroidal METFI.

4. Eppelbaum, L. V. (2020). “Integrated interpretation of magnetic and electromagnetic anomalies.” Journal of Geophysics and Engineering, 17(5).

• Demuestra la posibilidad de detectar anomalías electromagnéticas profundas mediante gradientes superficiales.

• Valida el uso de magnetometría distribuida en el seguimiento METFI.

5. Anfray, A., et al. (2019). “Optical coherence and atmospheric scattering at small angles.” Applied Optics, 58(7).

• Describe mecanismos de interferencia óptica en atmósferas parcialmente ionizadas.

• Fundamenta la relación entre luminescencia difusa y coherencia fotónica inducida.

6. Füller, H. & Schepers, J. (2022). “Interferometric measurements of solar angular variations.” Solar Physics, 297(4).

• Propone metodologías ópticas para medir variaciones mínimas del disco solar.

• Aplicable al seguimiento de coherencia Sol-atmósfera sugerido por el modelo METFI.

7. Bókkon, I., et al. (2010). “Bio-photon emission: Experimental background and theoretical approaches.” Progress in Neurobiology, 90(4).

• Evidencia la emisión fotónica coherente en sistemas biológicos.

• Sustenta la extensión simbólico-biofísica de la resonancia METFI hacia los campos biológicos.

Ecuaciones dinámicas del acoplamiento ELF/VLF (METFI–Sol–atmósfera) y derivación del parámetro de coherencia fractal $\Lambda_{p}$ con correlato bioeléctrico

Notación y supuestos básicos

• Coordenadas: tomamos coordenadas esférico–céntricas para la cavidad (radio efectivo $R_c$) y coordenadas locales cartesianas para aproximaciones de capa límite.

• Campos electromagnéticos: $\mathbf{E}(\mathbf{r},t)$ y $\mathbf{B}(\mathbf{r},t)$. Potencial vector $\mathbf{A}$ y potencial escalar $\Phi$ con elección de gauge Coulombiano cuando convenga.

• Fuentes: Sol cercano representado como forzamiento electromagnético localizado $\mathbf{J}_\odot(\mathbf{r},t)$ y fuente óptica/irradiancia $I_\odot(t)$.

• Medio: permitividad efectiva $\varepsilon(\mathbf{r})$, permeabilidad $\mu(\mathbf{r})$, conductividad $\sigma(\mathbf{r})$. Consideramos regiones con baja conductividad (atmósfera neutra) y capas parcialmente ionizadas (ionosfera).

• Frecuencias de interés: ELF (∼0.1–300 Hz) y VLF (∼3–30 kHz); foco en banda baja alrededor de la resonancia fundamental (~7.8 Hz) y armónicos hasta kHz.

Ecuaciones fundamentales del acoplamiento (forma general)

Partimos de las ecuaciones de Maxwell en un medio lineal:

$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t},$$

con $\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}$, $\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}$ y corriente total:

$$\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E} + \mathbf{J}_{\text{ext}}.$$

Sustituyendo y eliminando $\mathbf{H}$ obtenemos la ecuación de onda con atenuación:

$$\nabla \times \nabla \times \mathbf{E} + \mu \varepsilon \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} + \mu \sigma \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = -\mu \frac{\partial \mathbf{J}_{\text{ext}}}{\partial t}. \tag{1}$$

Para modos toroidales confinados en la cúpula, es útil reescribir en términos del potencial vector en gauge Coulomb:

$$\left( \nabla^2 - \mu \varepsilon \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \mu \sigma \frac{\partial}{\partial t} \right) \mathbf{A} = -\mu \mathbf{J}_{\text{ext}}. \tag{2}$$

En la región de interés (modos ELF/VLF), podemos separar variables en modos normales $\mathbf{A}_n(\mathbf{r})$ con amplitud temporal $a_n(t)$:

$$\mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \sum_{n} a_n(t) \mathbf{A}_n(\mathbf{r}), \qquad \text{con } \left( \nabla^2 + k_n^2 \right)\mathbf{A}_n = 0, \qquad k_n = \frac{\omega_n}{v_p},$$

donde $v_p = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}$ es la velocidad de fase efectiva en la cavidad.

Proyectando la ecuación (2) sobre el modo $n$, se obtiene la ecuación dinámica modal:

$$\ddot{a}_n + 2\gamma_n \dot{a}_n + \omega_n^2 a_n = f_n(t), \tag{3}$$

donde:

• $\omega_n$ es la frecuencia natural del modo $n$,

• $\gamma_n$ es el término de atenuación/damping (por pérdidas radiativas/conductivas),

• $f_n(t)$ es el acoplamiento modal con la fuente externa (Sol cercano) dado por $f_n(t) = -\frac{1}{M_n} \int \mathbf{A}_n \cdot \mu \mathbf{J}_\odot \, dV$ y $M_n$ un factor modal de normalización (masa efectiva electromagnética).

Modelo reducido para el acoplamiento Sol–cavidad (modo fundamental)

Retengamos sólo el modo fundamental $n=0$ (resonancia de Schumann) y un banco $m$ de modos VLF. El modo fundamental satisface:

$$\ddot{a}_0 + 2\gamma_0 \dot{a}_0 + \omega_0^2 a_0 = \kappa_0 I_\odot(t) + \sum_{m} \eta_{0m} a_m(t) + \xi_0(t), \tag{4}$$

y para modos m (VLF/armónicos):

$$\ddot{a}_m + 2\gamma_m \dot{a}_m + \omega_m^2 a_m = \kappa_m I_\odot(t) + \eta_{m0} a_0(t) + \sum_{p\neq 0,m} \eta_{mp} a_p(t) + \xi_m(t). \tag{5}$$

• $\kappa_n$ son coeficientes de forzamiento por irradiancia/perturbación solar efectiva $I_\odot(t)$.

• $\eta_{nm}$ son coeficientes de acoplamiento no lineal entre modos (pueden provenir de términos MHD o no-linealidades dieléctricas).

• $\xi_n(t)$ ruido estocástico (terrestre/eléctrico).

Ecuaciones (4–5) constituyen un sistema acoplado de osciladores amortiguados con forzamiento externo —es el núcleo dinámico del modelo METFI–Sol–atmósfera.

Representación en frecuencia y función de transferencia modal

Para análisis espectral, tomamos transformada de Fourier unilateral (convencional). Denotando Fourier de $a_n(t)$ por $A_n(\omega)$ y de $I_\odot(t)$ por $I_\odot(\omega)$, la relación lineal aproximada (ignorando por un momento términos no lineales $\eta_{nm}$) es:

$$A_n(\omega) = H_n(\omega) \left[ \kappa_n I_\odot(\omega) + \Xi_n(\omega) \right], \tag{6}$$

con función de transferencia modal:

$$H_n(\omega) = \frac{1}{-\omega^2 + \omega_n^2 + 2 i \gamma_n \omega }. \tag{7}$$

La densidad espectral de potencia del modo n es $S_{n}(\omega) = |A_n(\omega)|^2$. El acoplamiento entre modo 0 y modo m se evalúa por densidad cross-espectral $S_{0m}(\omega) = A_0(\omega) A_m^*(\omega)$.

La coherencia de Magnitud–cuadrado entre modos 0 y m:

$$\gamma^2_{0m}(\omega) = \frac{|S_{0m}(\omega)|^2}{S_{0}(\omega) S_{m}(\omega)}. \tag{8}$$

$\gamma^2_{0m}$ toma valores $0 \le \gamma^2 \le 1$ y mide la fracción de potencia linealmente relacionada entre modos a frecuencia $\omega$.

Definición operacional del Parámetro de Coherencia Fractal $\Lambda_{p}$

Motivación conceptu al

La idea es construir un parámetro que capture simultáneamente:

1. La coherencia espectral (entre la irradiancia solar y/o entre modos) en la banda de interés (ELF/VLF).

2. La estructura de escala/fractal del proceso (autosemejanza en potencia/spectral) que refleja la organización jerárquica de la cavidad y de la respuesta biosfera–atmósfera.

Definición matemática

Sea:

• $\Gamma(\omega)$ una medida de coherencia integrada en banda —puede ser la coherencia cruzada entre modo 0 y la señal solar o entre estaciones: $\Gamma(\omega) \equiv \gamma^2_{0\odot}(\omega)$ o promedio de coherencias 0–m.

• $S_{\text{tot}}(\omega)$ la densidad espectral de potencia total de la señal modal o ambiente.

• $D_f$ la dimensión fractal estimada del proceso en tiempo (por ejemplo a partir de DFA o mediante exponente espectral $\beta$ con relación $D_f = (5-\beta)/2$ para series temporales con ciertas condiciones; esto se especifica según la técnica elegida).

Definimos el índice de coherencia fractal integrado en la banda $\Omega = [\omega_1, \omega_2]$ como:

$$\Lambda_{p} \equiv \frac{\displaystyle \int_{\Omega} \Gamma(\omega)\, S_{\text{coh}}(\omega)\, \omega^{\alpha} \, d\omega} {\displaystyle \int_{\Omega} S_{\text{tot}}(\omega)\, \omega^{\alpha} \, d\omega} \times \left( \frac{\ell_c}{L_0} \right)^{D_f - 1}. \tag{9}$$

Donde:

• $S_{\text{coh}}(\omega)$ es la parte coherente de la PSD (por ejemplo, $S_{\text{coh}}(\omega) = \Gamma(\omega) S_{\text{tot}}(\omega)$), por lo que el numerador puede simplificarse.

• $\omega^\alpha$ es un peso en frecuencia que enfatiza ciertas escalas (α paramétrica; para enfatizar ELF setear α≈0, o elegir α = -β para contrapesar caída espectral).

• $\ell_c$ es la longitud de coherencia espacial efectiva (m) del modo o de la red de estaciones (ej.: distancia a la cual la correlación es 1/e).

• $L_0$ es una longitud de referencia característica (ej.: radio efectivo de la cúpula $R_c$ o 1 km; convención operacional).

• $D_f$ es la dimensión fractal temporal (no-integer) de la serie; si la serie es más «rugosa» D_f mayor o menor según convención (ver elección de método).

Intuición: $\Lambda_{p}$ es fraccional, adimensional y combina (i) la fracción de potencia coherente en la banda (integral), (ii) la distribución espectral ponderada, y (iii) un factor de escala espacial dependiente de la estructura fractal.

Forma simplificada práctica

Utilizando $S_{\text{coh}} = \Gamma S_{\text{tot}}$, (9) reduce a:

$$\Lambda_{p} = \frac{\int_{\Omega} \Gamma(\omega)\, S_{\text{tot}}(\omega)\, \omega^{\alpha} \, d\omega} {\int_{\Omega} S_{\text{tot}}(\omega)\, \omega^{\alpha} \, d\omega} \times \left( \frac{\ell_c}{L_0} \right)^{D_f - 1}. \tag{10}$$

El primer factor es el coherent power ratio (fracción de potencia coherente en banda), el segundo factor añade escala/fractalidad.

Interpretación y umbral

• $\Lambda_{p} \in [0,1]$ si $\ell_c \le L_0$ y $D_f \approx 1$. En general puede exceder 1 si $\ell_c \gg L_0$ y $D_f>1$.

• Se define un umbral crítico $\Lambda_{p}^{\ast}$ experimental (ej., 0.3–0.5) por arriba del cual el acoplamiento electromagnético es suficientemente fuerte como para inducir efectos observables macroscopicamente (colapso parcial de coherencia toroidal, modulación de resonancias Schumann, etc.). El valor exacto debe calibrarse por seguimiento empírico.

Derivación de $\Lambda_{p}$ desde cross–spectra y análisis fractal (pasos operativos)

1. Recolectar señales relevantes: $x(t)$ = medida local de campo magnético en banda ELF; $y(t)$ = medida de irradiancia o señal óptica solar; $z_i(t)$ = señales de estaciones remotas.

2. Estimar PSD $S_{xx}(\omega)$, $S_{yy}(\omega)$ y cross–PSD $S_{xy}(\omega)$ por Welch o multitaper.

3. Calcular coherencia magnitud–cuadrado:

$$\Gamma(\omega) = \frac{|S_{xy}(\omega)|^2}{S_{xx}(\omega)\, S_{yy}(\omega)}.$$

4. Definir $S_{\text{tot}}(\omega) = S_{xx}(\omega)$ (por ejemplo). Evaluar integrales en (10) numéricamente en banda $\Omega$. Elegir $\alpha$ por criterio (generalmente 0).

5. Estimar $D_f$ aplicando Detrended Fluctuation Analysis (DFA) o mediante ajuste de PSD $S(\omega)\sim\omega^{-\beta}$ y conversión $D_f = (5-\beta)/2$ (si aplicable).

6. Estimar $\ell_c$ midiendo la función de correlación espacial entre estaciones: $C(r) = \langle x(\mathbf{r}_0) x(\mathbf{r}_0+\mathbf{r})\rangle$. Definir $\ell_c$ como distancia donde $C(\ell_c)=C(0)/e$.

7. Calcular $\Lambda_{p}$ según (10).

Correlato bioeléctrico: acoplamiento entre campo ELF y tejido neural

Mecanismo físico

El campo eléctrico inducido en extracelular por variación temporal de $\mathbf{A}$ es $\mathbf{E}_{\text{ind}} = -\partial \mathbf{A} / \partial t$. A escala de tejido, un campo externo $\mathbf{E}_{\text{ext}}(t)$ produce corriente extracelular $I_{\text{ext}} \approx \sigma_t \mathbf{E}_{\text{ext}}$ (σ_t conductividad tisular), que afecta potencial transmembrana $V_m$ de neuronas y tejidos excitables.

La ecuación cable unidimensional con corriente externa:

$$\tau_m \frac{\partial V_m}{\partial t} = \lambda^2 \frac{\partial^2 V_m}{\partial x^2} - V_m + r_m I_{\text{ext}}(t), \tag{11}$$

donde $\tau_m$ tiempo de membrana, $\lambda$ longitud de espacio, $r_m$ resistencia específica.

Para poblaciones neuronales acopladas, la dinámica media (modelo Wilson–Cowan o de oscilador fase) puede representarse por una amplitud $\Theta(t)$ que satisface:

$$\dot{\Theta} = -\alpha \Theta + \beta S(\Theta) + \gamma_{\text{ext}} E_{\text{ext}}(t), \tag{12}$$

con $S(\cdot)$ función de transferencia sigmoidea y $\gamma_{\text{ext}}$ ganancia de campo.

Condición de sincronización inducida por acoplamiento electromagnético

Sea $P_{\text{bio}}(\omega)$ la PSD de la actividad neural (EEG/EMG) en la banda relevante. Definimos la coherencia cruzada entre $E_{\text{ext}}(t)$ (o modo 0) y señal neural $n(t)$ como $\gamma^2_{n,0}(\omega)$. Análogo al caso modal, se puede construir un índice de modulación neural:

$$\Gamma_{\text{bio}} = \frac{\int_{\Omega} \gamma^2_{n,0}(\omega) \, P_n(\omega) \, d\omega}{\int_{\Omega} P_n(\omega) \, d\omega}.$$

Proponemos que existe una relación monotónica entre $\Lambda_{p}$ y $\Gamma_{\text{bio}}$; a primer orden lineal:

$$\Gamma_{\text{bio}} \approx G_0 \, \Lambda_{p}, \tag{13}$$

donde $G_0$ es una ganancia empírica dependiente de la anatomía, densidad sináptica y factores de acoplamiento (conductividad tisular, orientación de neuronas). Cuando $\Gamma_{\text{bio}}$ excede un umbral (p.ej., 0.1–0.2 en coherencia integrada), pueden observarse cambios funcionales (modulación de ritmos alfa/theta, alteración de sincronía circadiana).

Umbral para efectos biológicos

Combinando (10) y (13), existe un umbral implícito $\Lambda_{p}^{\text{bio}}$ tal que:

$$\Lambda_{p} \ge \Lambda_{p}^{\text{bio}} \quad \Rightarrow \quad \text{probabilidad aumentada de modulación neural observada}.$$

El valor numérico de $\Lambda_{p}^{\text{bio}}$ debe calibrarse por experimentos controlados; sugerimos en pruebas iniciales usar ente 0.2–0.4 como rango a investigar.

Ejemplo numérico ilustrativo (valor orientativo)

Supongamos:

• Banda $\Omega: 6.5\text{ Hz} \to 9.5\text{ Hz}$.

• PSD integrada $\int_\Omega S_{\text{tot}}(\omega)\, d\omega = 100$ (unidades relativas).

• Coherente: $\int_\Omega \Gamma(\omega) S_{\text{tot}}(\omega)\, d\omega = 25$ → coherent power ratio = 0.25.

• Estimación $D_f = 1.4$.

• $\ell_c = 500$ km, $L_0 = R_c \approx 6{,}000$ km. Entonces factor espacial: $(\ell_c/L_0)^{D_f - 1} = (500/6000)^{0.4} \approx 0.45$.

Entonces:

$$\Lambda_{p} \approx 0.25 \times 0.45 \approx 0.1125.$$

Interpretación: valor moderado-bajo; probablemente por debajo del umbral de colapso, pero suficiente para producir modulaciones locales. Si la coherencia aumenta (p. ej. a 0.5) y $\ell_c$ crece, $\Lambda_{p}$ puede superar el umbral crítico.

Procedimiento de implementación en programas de seguimiento (operacional)

1. Establecer red de magnetómetros y sensores ópticos sincronizados.

2. Registrar tiempo largo (días–semanas) con muestreo >1 kHz para VLF y muestreo ~200 Hz para ELF.

3. Estimar PSD y cross–PSD con ventanas (Welch/multitaper).

4. Calcular coherencias $\Gamma(\omega)$ por pares (estaciones–solar).

5. Estimar $D_f$ por DFA en la serie temporal del modo 0 o en $S(\omega)$.

6. Medir $\ell_c$ por función de correlación espacial.

7. Computar $\Lambda_{p}$ y comparar con umbrales $\Lambda_{p}^{\ast}$ y $\Lambda_{p}^{\text{bio}}$.

8. Registrar simultáneamente señales biológicas (EEG/EMG/ritmos circadianos) para evaluar $\Gamma_{\text{bio}}$.

9. Establecer alarmas/protocolos cuando $\Lambda_{p}$ exceda valores predefinidos (seguimiento continuo).

Comentarios finales y limitaciones

• El parámetro $\Lambda_{p}$ es operacional y depende de elecciones (banda, método de estimación $D_f$, definición de $\ell_c$, factor α). Por tanto se recomienda normalización robusta y estudios de sensibilidad.

• No se asume linealidad global: términos no lineales $\eta_{nm}$ pueden producir fenómenos de sincronización súbita (bifurcaciones) no predichos por análisis lineal. Para ello conviene estudiar sistemas acoplados no lineales con técnicas de análisis de estabilidad (Floquet, Lyapunov).

• El enlace con bioeléctrica es complejo y multifactorial: la simple correlación no establece causalidad; sin embargo $\Lambda_{p}$ ofrece una métrica cuantitativa para ensayos experimentales controlados.

Sugerencias de experimentos iniciales (breve)

• Campaña de seguimiento en red (≥10 estaciones) durante 6 meses; cálculo de series $\Lambda_{p}(t)$ diarias y correlación con registro EEG en cohorte controlada (n=30) para validar $\Lambda_{p}^{\text{bio}}$.

• Estudio de sensibilidad de $\Lambda_{p}$ ante variaciones en definición de $D_f$ (usar DFA y ajuste espectral β).

• Experimentos de laboratorio con cultivos neuronales expuestos a campos ELF controlados con espectro y coherencia configurables para medir respuesta sináptica.